矩阵快速幂

矩阵快速幂 学习笔记

 

　　

　　据说，矩阵快速幂在递推式优化上相当神奇，而且效率很高。。。

　　两矩阵相乘，朴素算法的复杂度是O(N^3)。如果求一次矩阵的M次幂，按朴素的写法就是O(N^3*M)。既然是求幂，不免想到快速幂取模的算法，这里有快速幂取模的介绍，a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢？答案是肯定的。

　　先定义矩阵数据结构：　　

struct Mat {    double mat[N][N];};

　　O(N^3)实现一次矩阵乘法

Mat operator * (Mat a, Mat b) {    Mat c;    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));    int i, j, k;    for(k = 0; k < n; ++k) {        for(i = 0; i < n; ++i) {            if(a.mat[i][k] <= 0)  continue;   //不要小看这里的剪枝，cpu运算乘法的效率并不是想像的那么理想（加法的运算效率高于乘法，比如Strassen矩阵乘法）            for(j = 0; j < n; ++j) {                if(b.mat[k][j] <= 0)    continue;    //剪枝                c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];            }        }    }    return c;}

 

　　下面介绍一种特殊的矩阵：单位矩阵

很明显的可以推知，任何矩阵乘以单位矩阵，其值不改变。

有了前边的介绍，就可以实现矩阵的快速连乘了。

Mat operator ^ (Mat a, int k) {    Mat c;    int i, j;    for(i = 0; i < n; ++i)        for(j = 0; j < n; ++j)            c.mat[i][j] = (i == j);    //初始化为单位矩阵    for(; k; k >>= 1) {        if(k&1) c = c*a;        a = a*a;    }    return c;}

　　举个例子:

　　求第n个Fibonacci数模M的值。如果这个n非常大的话，普通的递推时间复杂度为O(n)，这样的复杂度很有可能会挂掉。这里可以用矩阵做优化，复杂度可以降到O(logn * 2^3)

如图：

A = F(n - 1), B = F(N - 2)，这样使构造矩阵的n次幂乘以初始矩阵得到的结果就是。

因为是2*2的据称，所以一次相乘的时间复杂度是O(2^3)，总的复杂度是O(logn * 2^3 + 2*2*1)。

 

zoj上的一道例题: zoj 2853 Evolution.

这道题都不用考虑怎么去构造能够实现有效运算的矩阵。直接修改单位矩阵就可以。比如P(i, j) = 0.5，则mat[i][j] += 0.5,mat[i][i] -= 0.5; 然后求T*mat^M,(T表示原始的population序列，相当于1*n的矩阵)

ps:这道题不加剪枝的话还是会挂掉 -_-!

渣代码 :3S+ 过得，很水 T_T

 

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