优化算法——差分进化算法(DE)

来源：互联网发布：尔雅网络课程网址编辑：程序博客网时间：2024/06/02 13:22

一、差分进化算法的介绍

差分进化算法(Differential Evolution, DE)是一种基于群体差异的启发式随机搜索算法，该算法是由R.Storn和K.Price为求解Chebyshev多项式而提出的。DE算法也属于智能优化算法，与前面的启发式算法，如ABC，PSO等类似，都属于启发式的优化算法。DE算法是我在一篇求解盒子覆盖问题论文中使用的一种优化算法。

二、差分进化算法的流程

初始化种群
变异
交叉
选择

(DE流程)

三、差分进化的具体步骤

对于无约束优化问题

$min\; f\left ( x_1,x_2,\cdots x_D \right )$

$s.t.\; x^L_j\leqslant x_j\leqslant x^U_j$

利用差分进化求解这样的优化问题，主要分为初始化、变异、交叉和选择等几项操作。

1、初始化

如前面的的群智能优化算法一样，差分进化也需要初始化种群：

$\left \{ X_i\left ( 0 \right )\mid x^L_{i,j}\leqslant x_{i,j}\left ( 0 \right )\leqslant x^U_{i,j};\; i=1,2,\cdots ,NP;\; j=1,2,\cdots ,D \right \}$

其中， $X_i\left ( 0 \right )$ 是第 $i$ 个个体， $j$ 表示第 $j$ 维。

$x_{i,j}\left ( 0 \right )=x^L_{i,j}+rand\left ( 0,1 \right )\left ( x^U_{i,j}-x^L_{i,j} \right )$

其中， $x^L_{i,j}$ 和 $x^U_{i,j}$ 分别为第 $j$ 维的下界和上界， $rand\left ( 0,1 \right )$ 表示在区间 $\left [ 0,1 \right ]$ 上的随机数。

2、变异

DE算法通过差分策略实现个体变异，常见的差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成。

$V_i\left ( g+1 \right )=X_{r1}\left ( g \right )+F\left ( X_{r2}\left ( g \right )-X_{r3}\left ( g \right ) \right )$

其中， $r1$ ， $r2$ 和 $r3$ 是三个随机数，区间为 $\left [ 1,NP \right ]$ ， $F$ 称为缩放因子，为一个确定的常数。 $g$ 表示第 $g$ 代。

3、交叉

交叉操作的目的是随机选择个体，因为差分进化也是一种随机算法，交叉操作的方法是：

$U_{i,j}\left ( g+1 \right )=\left\{\begin{matrix} V_{i,j}\left ( g+1 \right ) & if rand\left ( 0,1 \right )\leqslant CR\\ x_{i,j}\left ( g \right ) & otherwise \end{matrix}\right.$

其中， $CR$ 称为交叉概率。通过概率的方式随机生成新的个体。

4、选择

在DE中采用的是贪婪选择的策略，即选择较优的个体作为新的个体。

$X_i\left ( g+1 \right )=\left\{\begin{matrix} U_i\left ( g+1 \right ) & if f\left ( U_i\left ( g+1 \right ) \right )\leqslant f\left ( X_i\left ( g \right ) \right )\\ X_i\left ( g \right ) & \end{matrix}\right.$

四、实际的优化问题

求解优化问题：

$min \sum_{j=1}^{10}x^2_j$

$s.t.\; -10\leqslant x_j\leqslant 10$

一、Java实现

package org.zzy.de;import java.util.Random;public class Population {public static int NP = 1000;// 种群规模public static int size = 10;// 个体的长度public static int xMin = -10;// 最小值public static int xMax = 10;// 最大值public static double F = 0.5;// 变异的控制参数public static double CR = 0.8;// 杂交的控制参数private double X[][] = new double[NP][size];// 个体private double XMutation[][] = new double[NP][size];private double XCrossOver[][] = new double[NP][size];private double fitness_X[] = new double[NP];// 适应值public double[][] getX() {return X;}/** * 矩阵的复制 *  * @param x把x复制给个体 */public void setX(double x[][]) {for (int i = 0; i < NP; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {this.X[i][j] = x[i][j];}}}public double[] getFitness_X() {return fitness_X;}public void setFitness_X(double[] fitness_X) {for (int i = 0; i < NP; i++) {this.fitness_X[i] = fitness_X[i];}}public double[][] getXMutation() {return XMutation;}public void setXMutation(double xMutation[][]) {for (int i = 0; i < NP; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {this.XMutation[i][j] = xMutation[i][j];}}}public double[][] getXCrossOver() {return XCrossOver;}public void setXCrossOver(double xCrossOver[][]) {for (int i = 0; i < NP; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {this.XCrossOver[i][j] = xCrossOver[i][j];}}}/** * 适应值的计算 *  * @param XTemp根据个体计算适应值 * @return返回适应值 */public double CalculateFitness(double XTemp[]) {double fitness = 0;for (int i = 0; i < size; i++) {fitness += XTemp[i] * XTemp[i];// 做一个X的平方相加的函数}return fitness;}/** * 初始化：随机初始化种群，计算个体的适应值 */public void Initialize() {double XTemp[][] = new double[NP][size];double FitnessTemp[] = new double[NP];Random r = new Random();for (int i = 0; i < NP; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {XTemp[i][j] = xMin + r.nextDouble() * (xMax - xMin);}// 计算适应值FitnessTemp[i] = CalculateFitness(XTemp[i]);}this.setX(XTemp);this.setFitness_X(FitnessTemp);}/******** 变异操作 ***********/public void Mutation() {double XTemp[][] = new double[NP][size];double XMutationTemp[][] = new double[NP][size];XTemp = this.getX();Random r = new Random();for (int i = 0; i < NP; i++) {int r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0;while (r1 == i || r2 == i || r3 == i || r1 == r2 || r1 == r3|| r2 == r3) {// 取r1,r2,r3r1 = r.nextInt(NP);r2 = r.nextInt(NP);r3 = r.nextInt(NP);}for (int j = 0; j < size; j++) {XMutationTemp[i][j] = XTemp[r1][j] + F* (XTemp[r2][j] - XTemp[r3][j]);}}this.setXMutation(XMutationTemp);}/** * 交叉操作 */public void CrossOver() {double XTemp[][] = new double[NP][size];double XMutationTemp[][] = new double[NP][size];double XCrossOverTemp[][] = new double[NP][size];XTemp = this.getX();XMutationTemp = this.getXMutation();// 交叉操作Random r = new Random();for (int i = 0; i < NP; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {double rTemp = r.nextDouble();if (rTemp <= CR) {XCrossOverTemp[i][j] = XMutationTemp[i][j];} else {XCrossOverTemp[i][j] = XTemp[i][j];}}}this.setXCrossOver(XCrossOverTemp);}/** * 选择操作：使用贪婪选择策略 */public void Selection() {double XTemp[][] = new double[NP][size];double XCrossOverTemp[][] = new double[NP][size];double FitnessTemp[] = new double[NP];double FitnessCrossOverTemp[] = new double[NP];XTemp = this.getX();XCrossOverTemp = this.getXCrossOver();// 交叉变异后的个体FitnessTemp = this.getFitness_X();// 对群体进行重新设置for (int i = 0; i < NP; i++) {FitnessCrossOverTemp[i] = CalculateFitness(XCrossOverTemp[i]);if (FitnessCrossOverTemp[i] < FitnessTemp[i]) {for (int j = 0; j < size; j++){XTemp[i][j] = XCrossOverTemp[i][j];}FitnessTemp[i] = FitnessCrossOverTemp[i];}}this.setX(XTemp);this.setFitness_X(FitnessTemp);}/** * 保存每一代的全局最优值 */public void SaveBest() {double FitnessTemp[] = new double[NP];FitnessTemp = this.getFitness_X();int temp = 0;// 找出最小值for (int i = 1; i < NP; i++) {if (FitnessTemp[temp] > FitnessTemp[i]) {temp = i;}}System.out.println(FitnessTemp[temp]);}}

测试

package org.zzy.test;import org.zzy.de.Population;public class DETest {public static void main(String args[]) {int gen = 0;int maxCycle = 1000;Population p = new Population();p.Initialize();// 初始化while (gen <= maxCycle) {p.Mutation();p.CrossOver();p.Selection();gen++;p.SaveBest();}}}

二、收敛曲线

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