康托展开/逆康托展开
来源:互联网 发布:cf宏鼠标一键瞬狙数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/09 16:19
康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回 s 的第 m 个排列。
#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<cstdlib>using namespace std;class cantor{public:int n;//字符串的长度string s;int pos;//字符串在全排列中的字典位置,从0开始vector<int>num;//所有的字符cantor(string s):s(s){n=s.size();}cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){int i;for(i=0;i<n;i++)num.push_back(i);}int fac(int);void encode();void decode();};int cantor::fac(int num){if(num==0) return 1;else return num*fac(num-1);}void cantor::encode(){int i,j,count;vector<int>vec(n);for(i=0;i<n;i++){count=0;for(j=i;j<n;j++)if(s[i]>s[j]) count++;vec[n-i-1]=count;}pos=0;for(i=0;i<s.size();i++)pos+=vec[i]*fac(i);}void cantor::decode(){int i;div_t divresult;for(i=n-1;i>=0;i--){divresult=div(pos,fac(i));//求余数与除数s.push_back(num[divresult.quot]+'0');num.erase(num.begin()+divresult.quot);pos=divresult.rem;}}int main(){cantor test(10,1);test.decode();cout<<test.s<<endl;}
康托展开:
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)
应用实例:
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种,将它们从小到大排序,怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个?
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
这样考虑:第一位是3,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位,小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于32
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。
再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个,0*3!,第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2,1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数,0*1!,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]/* 康托展开. {1...n}的全排列由小到大有序,s[]为第几个数 */int KT(int n, int s[]){ int i, j, t, sum; sum = 0; for (i=0; i<n; i++) { t = 0; for (j=i+1; j<n; j++) if (s[j] < s[i]) t++; sum += t*fac[n-i-1]; } return sum+1;}
康托展开的逆运算:
{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序,要找出第16个数:
1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0余15
3. 用15去除3! 得到2余3
4. 用3去除2! 得到1余1
5. 用1去除1! 得到1余0
有0个数比它小的数是1
所以第一位是1
有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4
有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3
有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5
最后一个数只能是2
所以这个数是14352
/* 康托展开的逆运算. {1...n}的全排列,中的第k个数为s[] */void invKT(int n, int k, int s[]){ int i, j, t, vst[8]={0}; k--; for (i=0; i<n; i++) { t = k/fac[n-i-1]; for (j=1; j<=n; j++) if (!vst[j]) { if (t == 0) break; t--; } s[i] = j; vst[j] = 1; k %= fac[n-i-1]; }}
- 康托展开/逆康托展开
- 康托展开&逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开和逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开
- 康托展开与逆康托展开(模板)
- 康托和逆康托展开
- 康托和逆康托展开
- 康托展开 & 康托逆展开
- B. Appleman and Tree 树状DP
- HDU-1702-ACboy needs your help again!
- 大文件获取百度网盘地址
- 《TCP/IP详解卷2:实现》笔记--协议控制块
- 数据结构笔记——第四章字符串和多维数组
- 康托展开/逆康托展开
- Android CursorLoader实例详解(附源码)
- sgu-163-Wise King (水到不忍直视)
- 九度OJ—题目1525:子串逆序打印
- 在js中if条件为null/undefined/0/NaN/""表达式时,统统被解释为false,此外均为true
- 欧拉回路以及欧拉路径
- 老罗Android开发 视频教程
- iOS字面量语法
- Django Step1 项目创建+连接MySQL+建表