扩展欧几里德算法

 一   题目：

     扩展欧几里德算法  不仅能够求出两个正整数a 和 b 的最大公约数d，还能求出两个整数x和y（不一定为正），使得 ax+by =d

二  分析该问题

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

      因此该问题的递归过程可定义为：  b!=0时， t=x;  x=y; y= x-(a/b)*y; 

                                                                   b=0时，x=1; y=0;  (递归的结束条件)

三  代码实现

 

扩展欧几里德的递归代码：

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3     if(b==0) 4     { 5         x=1; 6         y=0; 7         return a; 8     } 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);10     int t=x;11     x=y;12     y=t-a/b*y;13     return r;14 }四  注意 该过程也可用非递归来实现，详细可参考 点击打开链接