NOI03 逃学的小孩

问题描述

Chris家的电话铃响起了，里面传出了Chris的老师焦急的声音：“喂，是Chris的家长吗？你们的孩子又没来上课，不想参加考试了吗？”一听说要考试，Chris的父母就心急如焚，他们决定在尽量短的时间内找到Chris。他们告诉Chris的老师：“根据以往的经验，Chris现在必然躲在朋友Shermie或Yashiro家里偷玩《拳皇》游戏。现在，我们就从家出发去找Chris，一但找到，我们立刻给您打电话。”说完砰的一声把电话挂了。

Chris居住的城市由N个居住点和若干条连接居住点的双向街道组成，经过街道x需花费Tx分钟。可以保证，任两个居住点间有且仅有一条通路。Chris家在点C，Shermie和Yashiro分别住在点A和点B。Chris的老师和Chris的父母都有城市地图，但Chris的父母知道点A、B、C的具体位置而Chris的老师不知。

为了尽快找到Chris，Chris的父母会遵守以下两条规则：

l 如果A距离C比B距离C近，那么Chris的父母先去Shermie家寻找Chris，如果找不到，Chris的父母再去Yashiro家；反之亦然

l Chris的父母总沿着两点间唯一的通路行走。

这题应该说是树形dp中难度较大的题了。具体参考陈瑜希的论文。

主要思想是通过两遍dfs。第一遍任意选取一个节点作为根，然后求得每个节点子树中前3远的距离。

第二遍dfs是对每个节点求其到其父亲节点引出来的其他节点的最远距离，重新调整每个节点的前3远的距离。

并且第二遍dfs有两个步骤，前一个步骤保证搜索的方向是层次的，这样就能够保证子树更新距离时，父亲节点已更新完毕。

然后为什么父亲节点会引出一条路径。其实是因为每个分叉结点的前3远节点在不同的三颗子树（以该节点为根），也就是三颗子树交于该点，而过该点从其父亲方向过来的只可能有一条，如果大于1条，则说明三颗子树交于多个点组成的线段。

然后可能有人会有疑问?如果仅有一条树链，那么三点不是不交于1点，但是因为我们枚举了所有分叉点，对于这条链上的中间那个点作为分叉点，并且按照论文中转换，也就是添加边权为0的节点，那么就符合题意了，这个在代码里赋初值时是有体现的。但可能有人又有疑问了，其他点作为分叉点，最优解不就不交于1点了。

没错，但是此时根据代码，这些点只会求得以三颗子树交于该点的最优解，因此这些点得不到最优解。但是因为枚举了所有点作为分叉点，所以必然会在以那个中间点作为分叉点时，得到最优解。

所以这些完全不需要担心。。。但是如果你有这些顾虑，那说明你思考问题相当严密，值得鼓励。

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<vector>#include<algorithm>#define ll long long#define Maxn 200010using namespace std;struct edge{    int u,v;    ll val;}p[Maxn];struct maxx{    int ori;    ll dis;    bool operator<(const maxx &a)const{        return dis>a.dis;    }}ma[Maxn][4];vector<edge> dv[Maxn];ll ans;int vis[Maxn];void dfs1(int u){    vis[u]=1;    for(int i=0;i<dv[u].size();i++){        int v=u==dv[u][i].u?dv[u][i].v:dv[u][i].u;        if(!vis[v]&&u!=v){            dfs1(v);            ma[u][3].dis=ma[v][0].dis+dv[u][i].val;            ma[u][3].ori=v;            sort(ma[u],ma[u]+4);            ans=max(ans,ma[u][0].dis+2*ma[u][1].dis+ma[u][2].dis);        }    }}void dfs2(int u){    vis[u]=1;    for(int i=0;i<dv[u].size();i++){        int v=u==dv[u][i].u?dv[u][i].v:dv[u][i].u;        if(vis[v]&&u!=v){            if(ma[v][0].ori!=u)                ma[u][3].dis=ma[v][0].dis+dv[u][i].val;            else                ma[u][3].dis=ma[v][1].dis+dv[u][i].val;            sort(ma[u],ma[u]+4);            ans=max(ans,ma[u][0].dis+2*ma[u][1].dis+ma[u][2].dis);            break;        }    }    for(int i=0;i<dv[u].size();i++){        int v=u==dv[u][i].u?dv[u][i].v:dv[u][i].u;        if(!vis[v]&&u!=v) dfs2(v);    }}int main(){    int n,m,val;    scanf("%d%d",&n,&m);    ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++) dv[i].clear();    for(int i=0;i<m;i++){        scanf("%d%d%lld",&p[i].u,&p[i].v,&p[i].val);        dv[p[i].u].push_back(p[i]);        dv[p[i].v].push_back(p[i]);    }    memset(vis,0,sizeof vis);    memset(ma,0,sizeof ma);    dfs1(1);    memset(vis,0,sizeof vis);    dfs2(1);    printf("%lld\n",ans);return 0;}