海明码



Dick Hamming(译者注：就是发明海明码和海明距离的那个海明)，
海明码

1950年，海明（R.W.Hamming）发明了一种能够自动纠正一位出错的编码，我们称为海明码，海明码的纠错原理（略）。若要纠正突发错（一连串位出错），则按列发送，数据块到达接收端，再重新组成矩阵。

海明距离：给定某种构造校验位的算法，就能够造出包含全部合法码字的码字表（编码系统）。该码字表中必存在着两个码字之间的距离最小，这个最小距离称为该码字表（编码系统）的海明距离。海明距离决定了编码系统的检错和纠错能力。

两个码字的对应比特取值不同的比特数称为这两个码字的海明距离。一个有效编码集中,任意两个码字的海明距离的最小值称为该编码集的海明距离。


简单理解：在信息编码中，两个合法代码对应位上编码不同的位数称为码距，又称海明距离。 

    资料1  
海明码是一位纠错码，即如果数据在传输过程中有一位出错，则可以知道出错的位数并通过取反将其改正过来。
海明码的基本意思是给传输的数据增加r个校验位，从而增加两个合法消息（合法码字）的不同位的个数（海明距离）。 
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。 
码字(Code Word) 按如下方法构建： 
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)  
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)  
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。 
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,„) 
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,„) 
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,„) 
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,„)  „ 
如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.  
举例说明： 
一个字节的数据：10011010 
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):  
位置1检查1,3,5,7,9,11:  

? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0  
位置2检查2,3,6,7,10,11: 
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0  
位置4检查4,5,6,7,12: 
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0  
位置8检查8,9,10,11,12: 
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0   
因此码字为: 011100101010. 
查找并纠错一位错误 
上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置.