多重背包

今天看了背包问题九讲，感觉其中一个多重背包问题蛮有意思的。

问题： 

有N 种物品和一个容量为V 的背包。第i 种物品最多有Mi 件可用，每件耗费的空间是Ci，使用这些物品能否恰好填满背包？

文章里面介绍的是一个复杂度为O（VN）的算法。设F[i, j] 表示“用了前i 种物品填满容量为j 的背包后，最多还剩下几个第i 种物品可用”，如果F[i,j] = -1 则说明这种状态不可行，若可行应满足0≤F[i,j]≤Mi。

F[0,1...V]=-1，F[0,0]=0     //先初始化for i = 1 to Nfor j = 0 to Vif(F[i-1,j]>=0)//如果前i-1件物品能放满容量为j的背包，第i件物品不用放F[i,j]=MielseF[i,j]=-1 //暂定为-1，即前i件物品不能放满容量为j的背包for j = 0 to V-Ci//遍历能放下第i件物品的所有情况if(F[i,j]>0)//第i件物品还有剩下F[i,j+Ci] = max(F[i,j+Ci],F[i,j]-1)

最终结果中，如果F(N,V)的结果不是-1，那么可以恰好放满。