【分治法】线性时间选择算法

来源：互联网发布：php 获取上传文件类型编辑：程序博客网时间：2024/06/12 01:45

线性时间选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）。

1、随机划分线性选择

线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。

程序清单如下：

[cpp] view plaincopy
//2d9-1 随机划分线性时间选择  
#include "stdafx.h"  
#include <iostream>   
#include <ctime>  
using namespace std;   
  
int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2};  
  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y);  
  
inline int Random(int x, int y);  
  
template <class Type>  
int Partition(Type a[],int p,int r);  
  
template<class Type>  
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r);  
  
template <class Type>  
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k);  
  
int main()  
{  
    for(int i=0; i<9; i++)  
    {  
        cout<<a[i]<<" ";  
    }  
    cout<<endl;  
    cout<<RandomizedSelect(a,0,8,3)<<endl;  
}  
  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y)  
{  
    Type temp = x;  
    x = y;  
    y = temp;  
}  
  
inline int Random(int x, int y)  
{  
     srand((unsigned)time(0));  
     int ran_num = rand() % (y - x) + x;  
     return ran_num;  
}  
  
template <class Type>  
int Partition(Type a[],int p,int r)  
{  
    int i = p,j = r + 1;  
    Type x = a[p];  
  
    while(true)  
    {  
        while(a[++i]<x && i<r);  
        while(a[--j]>x);  
        if(i>=j)  
        {  
            break;  
        }  
        Swap(a[i],a[j]);  
    }  
    a[p] = a[j];  
    a[j] = x;  
    return j;  
}  
  
template<class Type>  
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r)  
{  
    int i = Random(p,r);  
    Swap(a[i],a[p]);  
    return Partition(a,p,r);  
}  
  
template <class Type>  
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)  
{  
    if(p == r)  
    {  
        return a[p];  
    }  
    int i = RandomizedPartition(a,p,r);  
    int j = i - p + 1;  
    if(k <= j)  
    {  
        return RandomizedSelect(a,p,i,k);  
    }  
    else  
    {  
        //由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素  
        //因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。  
        return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);  
    }  
}  

程序解释：利用随机函数产生划分基准，将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r]，使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j，则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中，如果k>j，则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意：由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素，因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

在最坏的情况下，例如：总是找到最小元素时，总是在最大元素处划分，这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系，为O(n)(数学证明过程略过,可参考王云鹏论文《线性时间选择算法时间复杂度深入研究》)。

2、利用中位数线性时间选择

中位数：是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。

算法思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。

实现步骤：

(1)将所有的数n个以每5个划分为一组共组，将不足5个的那组忽略，然后用任意一种排序算法，因为只对5个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了。将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到个中位数。

(2)取这个中位数的中位数，如果是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。

(3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比个元素大。因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，有个小于基准，中位数处于，即个中位数中又有个小于基准x。因此至少有个元素小于基准x。同理基准x也至少比个元素小。而当n≥75时≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

程序清单如下：

[cpp] view plaincopy
//2d9-2 中位数线性时间选择  
#include "stdafx.h"  
#include <ctime>  
#include <iostream>   
using namespace std;   
  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y);  
  
inline int Random(int x, int y);  
  
template <class Type>  
void BubbleSort(Type a[],int p,int r);  
  
template <class Type>  
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);  
  
template <class Type>  
Type Select(Type a[],int p,int r,int k);  
  
int main()  
{  
    //初始化数组  
    int a[100];  
  
    //必须放在循环体外面  
    srand((unsigned)time(0));  
  
    for(int i=0; i<100; i++)  
    {  
        a[i] = Random(0,500);  
        cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";  
    }  
    cout<<endl;  
  
    cout<<"第83小元素是"<<Select(a,0,99,83)<<endl;  
  
    //重新排序，对比结果  
    BubbleSort(a,0,99);  
  
    for(int i=0; i<100; i++)  
    {  
        cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";  
    }  
    cout<<endl;  
}  
  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y)  
{  
    Type temp = x;  
    x = y;  
    y = temp;  
}  
  
inline int Random(int x, int y)  
{  
     int ran_num = rand() % (y - x) + x;  
     return ran_num;  
}  
  
//冒泡排序  
template <class Type>  
void BubbleSort(Type a[],int p,int r)  
{  
     //记录一次遍历中是否有元素的交换     
     bool exchange;    
     for(int i=p; i<=r-1;i++)    
     {    
        exchange = false ;    
        for(int j=i+1; j<=r; j++)    
        {    
            if(a[j]<a[j-1])    
            {    
                Swap(a[j],a[j-1]);   
                exchange = true;    
            }     
        }     
        //如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束     
        if(false == exchange)    
        {  
             break ;    
        }  
     }  
}  
  
template <class Type>  
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x)  
{  
    int i = p-1,j = r + 1;  
  
    while(true)  
    {  
        while(a[++i]<x && i<r);  
        while(a[--j]>x);  
        if(i>=j)  
        {  
            break;  
        }  
        Swap(a[i],a[j]);  
    }     
    return j;  
}  
  
  
template <class Type>  
Type Select(Type a[],int p,int r,int k)  
{  
    if(r-p<75)  
    {  
        BubbleSort(a,p,r);  
        return a[p+k-1];  
    }  
    //(r-p-4)/5相当于n-5  
    for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)  
    {  
        //将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置  
        //使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数  
        BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);  
        Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);  
    }  
    //找中位数的中位数  
    Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);  
    int i = Partition(a,p,r,x);  
    int j = i-p+1;  
    if(k<=j)  
    {  
        return Select(a,p,i,k);  
    }  
    else  
    {  
        return Select(a,i+1,r,k-j);  
    }  
}  

运行结果如下：

0 0