寻找最小的k个数

题目：输入n个整数，输出其中最小的k个
思路一、快速排序+遍历
先对n个整数快速排序，平均所费的时间为nlogn，之后再遍历序列中前k个元素的输出
（总的时间复杂度为O(nlogn+k) = O(nlogn)）
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思路二、选择排序+遍历
1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即使最小的k个数；
2、对这k个数利用交换排序找出这k个元素中的最大值kmax，时间复杂度为O(k)；
3、继续遍历n-k个数，假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果 x < kmax ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果 x >= kmax ，则继续遍历不更新数组。每次遍历更新或不更新数组所用的时间为O(k)，故整趟下来，时间复杂度为nO(k)=O(nk)
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思路三、维护容量为k的最大堆
1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果 x < kmax ，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。总的时间复杂度为O(nlogk)
与思路二的区别在于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为O(logk)，但是在数组中找出最大元素，时间复杂度为O(k).

注意一个误区：并不是取出堆顶元素之后，把原来堆顶元素的儿子送到堆顶，而是如图所示，16被删除之后，堆中的最后一个元素1代替16成为了根结点，之后1下沉，14上移到堆顶（这个是算法导论中的分析，不一样的是这里是最大堆的堆排序过程）
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参考代码：

//找出最小k个数.cpp#include <iostream>const int MAXLEN = 8;const int K = 4;using namespace std;//建立k个元素最大堆void HeapAdjust(int array[], int i, int Length){    int child,temp;    for(temp = array[i]; 2*i+1 < Length; i = child)    {        child = 2 * i + 1;        if(child < Length - 1 && array[child + 1] < array[child])            child ++;        if(temp > array[child])            array[i] = array[child];        else            break;        array[child] = temp;    }}//交换void Swap(int *a, int *b){    *a = *a ^ *b;    *b = *a ^ *b;    *a = *a ^ *b;}//得到最小int GetMin(int array[], int Length, int k){    int min = array[0];    Swap(&array[0], &array[Length - 1]);    int child,temp;    int i = 0,j = k-1;    for(temp = array[0]; j > 0 && 2*i+1 < Length; --j,i = child)    {        child = 2*i+1;        if(child < Length - 1 && array[child + 1] < array[child])            child++;        if(temp > array[child])            array[i] = array[child];        else            break;        array[child] = temp;    }    return min;}void Kmin(int array[], int Length, int k){    for(int i = Length/2 - 1; i >= 0; --i)        //初始建堆，时间复杂度为O(n)        HeapAdjust(array, i, Length);    int j = Length;    for(int i = k; i > 0; --i,--j)        //k次循环，每次循环的复杂度最多为k次交换，复杂度为O(k^2)    {        int min = GetMin(array,j,i);        cout << min << endl;    }}int main(){    int array[MAXLEN] = {13, 38, 49, 76, 97, 27, 65, 49};    //for(int i = MAXLEN; i > 0; --i)    //    array[MAXLEN - i] = i;    Kmin(array, MAXLEN, K);    return 0;}

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思路四、类似快速排序的partition过程的分治算法
——《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中快速选择算法
1）类似快速排序的划分方法N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取一个数X作为枢纽元，2）把剩下的数组划分为Sa和Sb两个部分，Sa<=X<=Sb，
3）如果要查找的k个元素小于等于Sa的元素个数，那么第k个最小元肯定在Sa中则返回Sa中较小的k个元素
4）否则第k个最小元在Sb中，返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素
参考代码：

//采用类似快速排序的partition过程的分治算法.cppvoid q_select(int a[], int k, int left, int right){    int i,j;    int pivot;    if(left + CUTOFF <= right)    {        pivot = median3(a,left,right);//取三个中值作为枢纽元        i = left;        j = right - 1;        for(; ;)        {            while(a[++i] < pivot);            while(a[--j] > pivot);            if(i < j)                swap(&a[i], &a[j]);            else                break;        }        //重置枢纽元        swap(&a[i], &a[right-1]);        if(k <= i)            q_select(a, k, left, i - 1);        else if(k > i+1)            q_select(a, k, i+1, right);    }    else        insert_sort(a + left, right - left + 1);}

注意：快速排序与快速选择一样，如果枢纽元选择不当，以至于S1或S2中有一个序列是空的，则依然会有最坏的运行时间O(N^2)的情况发生，上述使用三数中值作为枢纽元的方法可以避免这个情况发生，可以做到O(N)的复杂度
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思路五、随机选取数列中的一个元素作为主元+遍历输出k个小的元素
——《算法导论》
每次都是随机选取数列中的一个元素作为主元，在O(n)的时间内找到第k小的元素，之后遍历输出前面的K个小的元素，比较一下熟知的快速排序，是以固定的第一个或最后一个元素作为主元，每次递归划分都是不均等的，最后的平均时间复杂度是O(nlogn)
思路六、五分化中项的中项法
——《算法导论》
像RANDOMIZED-SELECT一样，SELECTT通过输入数组的递归划分来找出所求元素，但是，该算法的基本思想是要保证对数组的划分是个好的划分。SECLECT采用了取自快速排序的确定性划分算法partition，并做了修改，把划分主元元素作为其参数
具体思路：
1）将输入数组的n个元素划分成n/5组，每组5个元素，且最后一个组存放n%5个元素。
2）寻找n/5个组中每一组的中位数，首先对每组中的元素（至多为5个）进行插入排序，之后选出中位数
3）对第2）步中找出的n/5个中位数，递归调用SELECT以找到其中位数x
4）按中位数的中位数x对输入数组进行划分，让k比划分低区的元素多1，所以x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区
5）如果i = k，则返回x，否则如果i<k,在低区递归调用SELECT以找出第i小的元素;如果i>k，则在高区找第i-k个最小的元素。