面试算法（四十三）n个骰子的点数

1、题目：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

n个骰子的点数和的最小值为n，最大值为6n。n个骰子的所有点数的排列数为6的n次方。

解法一：基于递归求骰子点数，时间效率不高。

先考虑如何统计每一个点数出现的次数。先把n个骰子分成两堆：第一堆只有一个，第二堆有n-1个。单独的那一个有可能出现从1到6的点数。计算从1到6的每一种点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和。

再把第二堆分成两堆，第一堆只有一个，第二堆有n-2个。把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数相加，再和剩下的n-2个来计算点数和。

这是递归形式，结束条件是最后只剩下一个骰子。我们可以定义一个长度为6n-n+1的数组，和为s的点数出现的次数保存到数组第s-n个元素里。

int g_maxValue = 6;void PrintProbability(int number){if(number < 1)return;int maxSum = number * g_maxValue;int* pProbabilities = new int[maxSum - number + 1];for(int i=number; i<=maxSum; ++i)pProbabilities[i-number] = 0;Probability(number, pProbabilities);int total = pow((double)g_maxValue, number);for(int i=number; i<=maxSum; ++i){double ratio = (double)pProbabilities[i-number] / total;printf("%d: %e\n", i, ratio);}delete[] pProbabilities;}void Probability(int number, int* pProbabilities){for(int i=1; i<=g_maxValue; ++i)Probability(number, number, i, pProbabilities);}void Probability(int original, int current, int sum, int* pProbabilities){if(current == 1){pProbabilities[sum - original]++;}else{for(int i=1; i<=g_maxValue; ++i){Probability(original, current-1, i+sum, pProbabilities);}}}

解法二：基于循环求骰子点数，时间性能好。

用两个数组来存储骰子点数的每一个总数出现的次数。在一次循环中，第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。在下一个循环中，我们加上一个新的骰子，此时和为n的骰子出现的次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6的次数的总和，所有我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。

int g_maxValue = 6;void PrintProbability(int number){if(number < 1)return;int pProbabilities[2];pProbabilities[0] = new int[g_maxValue * number + 1];pProbabilities[1] = new int[g_maxValue * number + 1];for(int i=0; i<g_maxValue * number + 1; ++i){pProbabilities[0][i] = 0;pProbabilities[1][i] = 0;}int flag = 0;for(int i=1; i<=g_maxValue; ++i)pProbabilities[flag][i] = 1;for(int k=2; k<=number; ++k){for(int i=0; i<k; ++i)pProbabilities[1-flag][i] = 0;for(int i=k; i<=g_maxValue * k; ++i){pProbabilities[1-flag][i] = 0;for(int j=1; j<=i  && j<=g_maxValue; ++j)pProbabilities[1-flag][i] += pProbabilities[flag][i-j];}flag = 1- flag;}double total = pow((double)g_maxValue, number);for(int i=nuber; i<=g_maxValue * number; ++i){double ratio = (double)pProbabilities[flag][i] / total;printf("%d: %e\n", i, ratio);}delete[] pProbabilities[0];delete[] pProbabilities[1];}