关于巴拿赫-塔斯基分球定理的研究

假设有一个苹果，然后有一只虫子，这只虫子可以无限小，因而可以被看作几何意义上作点。现在四只虫子开始在苹果里打洞了，由于打出来的洞同样没有体积，所以可以被看作是嵌套在苹果内部的曲线。你可以想像这四条曲线无比的复杂几乎穿过了苹果里面所有的空间！可以想象这样一种情形吗？如果你有多只这样的虫子，那么每只虫子都能打出几乎覆盖整个苹果内部空间的洞，但是所有的这些洞都是不想交的！换句话说，就是虫子几乎可以去苹果里面的任何地方，但是它永远也察觉不到另一只虫子的存在！

这就是无限和有限的不同了，当我们考虑的对象是无限的时候，有些结果似乎就是反直觉的了，比如说自然数集｛1，2，3，4，5，6，7｝和它的子集正偶数集｛2，4，6，8，10｝的“大小”是一样。我们怎么知道这个大小是一样的？都是无限的，怎么去测量？！这里的关键就是两个集合蕴含了相同程度的信息——如果我们把偶数集中每个元素都除以2，那么我们得到的就是自然数集。这说明两个集合互相蕴含了对方的完整信息，或者说互为全息映射。从另一方面说，无限集似乎具有某种全息性，也就是说整体的一部分刻意蕴含整体的全部信息！（这个其实就是分形，整体的一部分虽然尺度可能不同，但是依然拥有整体的全部结构，然后这种结构是无穷递归下去的）

回到巴拿赫-塔斯基分球定理，定理的构造实际上利用了这种全息性，当我们把球分成A,B,C,D四个部分以后，可以发现，虽然这四个部分互不想交，但是A,B和C,D的两两组合分别蕴含了整个球体的信息。所以一个球体，实际上可以看作是由两个一模一样的拷贝经过某种形式的信息变换组合而成的。由于我们考虑的对象都是无限的，所以这种全息性必定是存在的。分球的过程和直观的分割不同，而是一种我称之为“弥散化”的过程，所谓“弥散化”就是把一个连续统转变为非连续统的过程（比如康托三分集）：我们把一个连续统（比如一条直线）上的点按照新的方法组成一系列集合，并保证在新的集合中没有任何两个点是完全相邻的（这里需要定义相邻的概念，比较复杂，一种直观的定义就是“任意一个点，在它周围任意小的范围内都有别的点存在”）。连续统的构造就是基于这种相邻性的，如果破坏了这种特性，连续统也就不存在了。就好比一个实体球体，突然化作了如同云雾一般虚无缥缈的存在。对于实体的球你可以测量它的体积，但是对于一团云雾，你怎么测量它的体积——所以说，体积这个概念仅仅是属于连续统的，如果你把一个连续统弥散化了，体积也就不存在了。

这样说来，你说一个几何球体是一系列点的集合，这句话没错，但是这个集合本身必须具有额外的属性，也就是连续统的连续性，才能说这是一个球体。因此，当你说，“由无数个到原点距离小于1的点构成的集合体就是球体”时，这句话就是错的，因为无数个点也不一定能构成连续统，它们可以看起来像一团围绕在原点周围无限密集的球体云，但是那玩意还不是球体，因为点是没有体积，所以这团云，虽然看上去是一个球体，但实际上也是没有任何体积的！体积必须来源于连续性，所以，当你说“由所有到原点距离小于1的点构成的集合体就是球体”，这才是对的，因为所有的点必定是无限密集到可以产生连续性的程度，任意一个点，在它周围任意小的范围内都有别的点存在，这就叫连续！只有连续的集合才具备体积，长度等这样的测量学概念。所以对一个球体进行弥散化处理，实际上是把它变成了某种超越球体的存在，这一存在保留了球体的所有信息，并且利用这些信息可以无限的够造出球体。在这一过程中，伴随着一个连续统的消失到重构，体积概念也会对应的消失，然后重构。

但是，如果我们考虑的不是无限理想的球体，而是现实中的球体呢？采用巴拿赫-塔斯基分球构造以后，会有什么效果？如果我们假设这个球体是由某种单原子构成的，那么，不管这个球体有多大，这些原子始终是有限的。

采用巴拿赫-塔斯基分球构造证明以后会发现，在我们对这个球体上的某个点（原子）进行旋转变换的时候，这个原子并不一定总是可以和某个已有的点（原子）重合，因为这些原子之间有空隙，我们旋转的时候说不定就掉到空隙里面去了，这样我们如果把从某个点开始进行一系列旋转变换后，能够和原来已有的点重合的这样的所有点看作是一个等价类的话，那么即使我们有无数种旋转变换的方法，最后获得的等价类以及等价类中的元素个数必定都是有限可数的——这说明有很多旋转变换获得的是空对象（因为对应的位置没有原子存在），这点就违背了采用巴拿赫-塔斯基分球定理所要求的无限不重合集的构造了;从另一方面，这说明了对于有限的对象，这种全息性是不存在的。

所以，如果我们把原来的球分成4份，两两组合，虽然最后得到的东西看上去确实是个球体，但是这个球体的密度却是原来球体密度的1/2. 而且当我们把两个球体融合在一起以后，质量就恢复了。。。 

反过来，如果我们考虑的不是物理现实中的球体呢？那么质量和密度首先就是不存在的，否则密度必定是无穷大，因为你可以想象这是由无数个不可数的原子构成的球体，而且原子几乎没有体积，原子之间几乎没有距离。。。这样，即使分球以后密度削减了一半，但是无穷大的一半依然是无穷大！