万物皆数

数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立性是其本质的直接后果。

 

基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地小幅进展，至16世纪的文艺复兴时期，因为新的科学发现相作用而产生的数学革新导致了知识的加速发展。今日，数学使用在不同的领域中，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多研究以纯数学开始，但其过程中也发现许多应用之处。

 

数学的历史

BBC纪录片《数学家的故事》对数学的整个发展进程讲述的很清晰。首先讲述的是古埃及、古巴比伦和古希腊数学的起源和发现，介绍了毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德和希帕蒂亚等数学家。还谈到了圆面积、直角三角形、黄金比例以及立体图形的发现，这些都是古代人在实际应用过程中提炼出来的数学精华。

其次是对东方数学的介绍，提到了中国的进位体系、几何矩阵、洛书、几何级数、中国剩余定理以及秦九韶的三次方程。随后便是对印度数学的介绍，提及零和复数的发现，以及三角学在印度的发展。之后便是中东，开始介绍古代伊斯兰世界对数学研究的贡献：印度阿拉伯数字、代数学、海亚姆对任意三次方程的一般解法的探索。

下一站来到欧洲，首先提及的便是16世纪意大利博洛尼亚的塔塔里亚发现的任意三次方程的一般解法、以及费拉里利用塔塔里亚的三次方程求根公式研究出的四次方程一般解法。还通过绘画技法中的透视法及代表作品，介绍了文艺复兴时期意大利的皮耶罗•德拉•弗朗西斯卡将数学与绘画完美地融合在一起的艺术手法。随后介绍了笛卡尔、马兰·梅森以及以及皮埃尔•德•费马。17世纪的英国也出现了许多著名的数学家，比如以物理成就为多数世人所知的、本人同样也是数学家的牛顿。接着，由牛顿引出同时代的德国数学家戈特弗里德•莱布尼茨，两人各自独立创立了微积分。然后介绍了瑞士巴塞尔著名的伯努利家族，这一家族在17至18世纪期间连续出现了许多位数学家。主讲人由伯努利家族引出瑞士另一位数学巨匠莱昂哈德•欧拉。接着，主讲人比较了18世纪工业革命席卷欧洲大陆时，法国和德国对待数学的两种不同态度：法国注重数学的应用，而德国则是注重数学本身的价值。

数学世界的转折点到了，1900年夏天在法国巴黎举办国际数学家大会。在这次大会上出现了一位数学新星——德国数学家大卫•希尔伯特，由他提出的最值得数学家思考的23个重要问题，标志着现代数学的诞生。之后提及了德国数学家康托对“无穷”概念的阐述，法国数学家亨利·庞加莱的“混沌理论”和他对拓扑学的贡献，并提到了著名的数学难题“庞加莱猜想”，这一难题于2002年由圣彼得堡的一位俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼最终解答出来。

数学之旅没有尽头，数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立性是其本质的直接后果。数学的世界需要一代又一代人的不懈努力。

 

数学方向

数量

数量的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质于数论中有详细的研究，此一理论包括了如费马最后定理之著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想^[28]。

当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。

 

结构

许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、域及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。

创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布尔巴基学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……)

空间

空间的研究源自于几何－尤其是欧几里得几何。三角学则结合了空间及数，且包含有著名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几里得几何（其在广义相对论中扮演着核心的角色）及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，庞加莱猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明，而四色定理已在1976年由凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯用电脑证明^[31]，而从来没有由人力来验证过。

 

变化

了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分更为研究变化的有利工具。函数诞生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。黎曼猜想－数学最基本的未决问题之一－即以复分析来描述^[32]。泛函分析注重在函数的（一般为无限维）空间上。泛函分析的众多应用之一为量子力学。许多的问题很自然地会导出数量与其变化率之间的关系，而这则被微分方程所研究著。在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；混沌理论明确化许多表现出不可预测的系统之行为，而且为决定性系统的行为。

离散数学

离散数学是指对理论电脑科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算复杂性理论及资讯理论。可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬体的快速进步。最后，资讯理论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念。

做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。

 

应用数学

应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。（许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。）数值分析研究如何有效地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。

 

 

无论数学的那个方向，其中都蕴含着数学的美妙与神奇。想了解我们的世界，掌握这门宇宙的语言真难得很有必要。