街道问题 （DP）



如图所示的矩形图中找到一条从左下角到右上角的最短路径，图中数字表示边的长度。只能向右或向上走。

【输入文件】第一行两个数，N，M 矩形的点有N行M列。（0<N，M<1000）接下来N行每行M-1个数描述横向边的长度。接下来N-1行每行M个数描述纵向边的长度。边的长度小于10。

【输出文件】一个数——最短路径长度。

【输入样例】

4 5

3 7 4 8

4 6 3 5

3 6 3 5

5 4 6 2

7 6 3 5 3

2 8 5 9 4

8 7 4 3 7

【输出样例】

28

        

   首先考虑穷举情况，只考虑步数，因为只能往上或右走，则要走m+n步，那么所有的情况为在（m+n）步中选择m步向右走，即 可能的方案数为 C（m+n , m），如果m和n可以达到1000的话，肯定是不行的。

   我们很快可以发现，如果在最底边，并且从一开始只往右走，那么最小的代价一定是往右走的代价和，如上图，底边1到m个点中，从左到右的代价依次为0，5，9，15，17。

同理最左边的边界从1到n的代价为0，8，10，17。那么开始考虑不是边界的情况，假设dp[i][j]代表从一开始到（i，j）的最小代价，它只能由（i-1,j）向上走或是（i，j-1）向右走得到，那么状态转移方程很容易写出：

                          dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+up[i][j] , dp[i][j-1]+right[i][j])      ( 2<=i<=n , 2<=j<=m )

                          dp[1][i]=right[1][i]  ( 2<=i<=m  )

                          dp[i][1]=up[i][1]  (  2<=i<=n )

其中，right[][]代表向右走的代价，up[][]代表向上走的代价。dp[n][m]即为总代价。

#include<stdio.h>int n,m,r[1003][1003],u[1003][1003],dp[1003][1003];int Min(int a,int b){    return a<b?a:b;}int main(){    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        int i,j;        for(i=n;i>=1;i--)            for(j=2;j<=m;j++)                scanf("%d",&r[i][j]);        for(i=n;i>=2;i--)            for(j=1;j<=m;j++)                scanf("%d",&u[i][j]);        dp[1][2]=r[1][2];               //初始化边界        for(i=3;i<=m;i++)            dp[1][i]=dp[1][i-1]+r[1][i];        dp[2][1]=u[2][1];        for(i=3;i<=n;i++)            dp[i][1]=dp[i-1][1]+u[i][1];        for(i=2;i<=m;i++)               //DP            for(j=2;j<=n;j++)                dp[j][i]=Min(dp[j-1][i]+u[j][i],dp[j][i-1]+r[j][i]);        printf("%d\n",dp[n][m]);    }    return 0;}