Cracking the coding interview--Q10.1~Q10.7

题目10.1

译文：

你有一个篮球架，可以在以下游戏中选择一个来玩。

游戏1：投一次球，进了算赢。

游戏2：投三次球，至少要进2个才算赢。

如果命中率是p，那么p是什么值时你会选游戏1来玩？或p是什么值时你会选择游戏2？

解答10.1

由题意，游戏1的命中率为p;游戏2命中率为：C(2,3)*p^2*(1-p)+p^3=3*p^2-2*p^3，所以由

          p>3*p^2-2*p^3

得p<0.5, 即当p小于0.5时，选游戏1玩，p>0.5时，选游戏2玩

题目10.2

译文：

3只蚂蚁在三角形的3个顶点上，现在让它们沿着三角形的边开始运动， 发生碰撞的概率是多少？如果是n只蚂蚁在n边形的n个顶点上呢，碰撞的概率又是多少？

解答10.2

首先，题目中没有提到蚂蚁运动的速度，所以认为它们的速度一样，不会发生一只蚂蚁追上另一只蚂蚁的情况(面试时可以向面试官确认一下)。 对于任何1只蚂蚁，它有2条边可以选择来走。不会发生冲突的情况是， 所有的蚂蚁都顺时针走或是逆时针走，剩下的情况都是会冲突的。所以，冲突的概率为：

                            p=1-2*(1/2)^3=3/4

同理，n只蚂蚁在n边形的n个顶点，有

                            p=1-2*(1/2)^n

题目10.3

译文：

给定笛卡尔坐标系中的两条直线，判断两条线是否相交。

解答10.3

我们用斜截式来表示直线`y=ax+b`,两个直线是否相交，就很容易判断。一般情况，两条直线的斜率不相同，两直线就相交了。同时考虑一些边界条件
当直线垂直于x轴的时候，直线斜率不存在。还有当两条直线重合时，也认为两条直线是相交的。再者，需要考虑的问题就是计算中斜率是用浮点数的表示。
当两个浮点数之间的误差，小于规定的阈值的时候，我们要认为二者是相等的。

题目10.4

译文：

写一个函数实现*, - , /操作，你能使用的操作只有加法+。

解答10.4

首先对于这道题目，我们要和面试官确认一下，是不是只针对整数来讨论。 你自己在心里看到这道题目，也要大概估计到应该只在整数范围内考察。否则， 要你只用加法实现个浮点数相乘或是相除，恐怕就不太好办了。

对于乘法，比如a*b(a>0, b>0)，可以视为a个b相加，或是b个a相加。 如果a，b中有负数呢？我们可以先将它们取绝对值相乘，然后再根据同号相乘为正， 异号相乘为负给结果加上符号。其中，我们还可以做一点小优化， 即如果a<b，就求a个b相加；如果a>b，就求b个a相加。这样可以加法运算次数。

对于减法，a-b，我们只需要转变为a+(-b)即可。

对于除法，a/b，首先我们要考虑的是b不能为0.当b等于0时，抛出异常或返回无穷大(程序 中定义的一个值)。与乘法相同，我们都先对a和b取绝对值，然后不断地从a中减去b， 相应的商数加1。直到a已经不够给b减了，再根据a和b的符号决定是否给商数加上负号即可。

代码如下：

class Q10_4{public static int INF=~(1<<31);public static void main(String[] args){int[] a={8,0,-8,-5,9};int[] b={3,5,3,0,-3};for(int i=0;i<5;i++){System.out.print(sub(a[i],b[i])+" ");System.out.print(times(a[i],b[i])+" ");System.out.println(divide(a[i],b[i]));}}public static void swap(int a,int b){a=a^b;b=a^b;a=a^b;}public static int flipsign(int a){int d=a<0?1:-1;int opa=0;while(a!=0){a+=d;opa+=d;}return opa;}public static int abs(int a){if(a<0) a=flipsign(a);return a;}public static boolean opsign(int a,int b){return (a<0&&b>0)||(a>0&&b<0);}public static int sub(int a,int b){return a+flipsign(b);}public static int times(int a,int b){int aa=abs(a);int bb=abs(b);int res=0;if(aa<bb) swap(aa,bb);for(int i=0;i<bb;++i,res+=aa);if(opsign(a,b)) res=flipsign(res);return res;}public static int divide(int a,int b){if(b==0) return INF;int aa=abs(a); int bb=abs(b);int res=0;for(;(aa-=bb)>=0;++res);if(opsign(a,b))res=flipsign(res);return res;}}

题目10.5

译文：

给出二维平面上的两个正方形，找到一条直线能同时将两个正方形都分为面积相等的两半。

解答10.5

由一条过正方形（矩形）中心的直线，可以将正方形（矩形）的面积分成两半。所以，只要该直线经过两个正方形的中心即可。

题目10.6

译文：

在一个二维图上有许多点，找出一条经过最多点的直线。

解答10.6

设共有n个点。将n个顶点之间两两连线，则共计2^n-2条连线。将每条线作为key值，连接的两点作为value。当遍历完所有连线后，具有相同的斜率和截距的连线所
组成的点就拥有相同的key值，然后，数一下一共有多少个不重复的点就可以了。这里仍然需要注意的就是斜率和截距的浮点数表示，将直线作为key值，我们需要重新计算hashcode，才能够保证key值的正确。

题目10.7

译文：

设计算法，找到质因数只有3，5或7的第k个数。

解答10.7

首先，我们可以将满足条件的前几个数列出来，以此寻找解题思路。

一种简单的思路就是对于已经列出的数，我们依次去乘以3，5，7得到一组数 然后找出最小且还没有列出的数，加入到这个列表。然后重复上面的步骤： 乘以3，5，7，找出最小且还没有列出的数……这个方法的时间复杂度是O(n2 )。

这种思路存在一个问题，就是重复计算。比如对于上面那个表，我想计算下一个数， 那么我用3，5，7去乘以表中的每一个数，然后找出最小且没有用过的数。 可是像3*3,3*5,3*7,5*5,5*7等等都是已经计算过且已经用了的， 按照上面的算法就会不断地重复计算。那我们有没什么办法可以避免重复计算呢？ 那就是将已经计算出来的数保存好，并且保持它们有序。为了避免出现先用3乘以5， 然后又用5去乘以3的这种情况出现(这样会使我们维护的数中出现重复)， 我们可以用3个队列来维护这些数。第1个队列负责乘以3，第2个队列负责乘以5， 第3个队列负责乘以7。算法描述和代码如下：

/*1. 初始化结果res=1和队列q3,q5,q72. 分别往q3,q5,q7插入1*3,1*5,1*73. 求出三个队列的队头元素中最小的那个x，更新结果res=x4. 如果x在：    q3中，那么从q3中移除x，并向q3，q5，q7插入3*x,5*x,7*x    q5中，那么从q5中移除x，并向q5，q7插入5*x,7*x    q7中，那么从q7中移除x，并向q7插入7*x5. 重复步骤3－5，直到找到第k个满足条件的数注意，当x出现在q5中，我们没往q3中插入3*x，那是因为这个数在q5中已经插入过了。*/import java.util.LinkedList;class Q10_7{public static void main(String[] args){for(int i=1;i<20;++i){System.out.println(get_num(i)+" ");}}public static int mini(int a, int b){    return a < b ? a : b;}public static int mini(int a, int b, int c){    return mini(mini(a, b), c);}public static int get_num(int k){if(k<=0) return 0;int val=1;LinkedList<Integer> q3=new LinkedList<Integer>();LinkedList<Integer> q5=new LinkedList<Integer>();LinkedList<Integer> q7=new LinkedList<Integer>();q3.add(3);q5.add(5);q7.add(7);for(--k;k>0;--k){val=mini(q3.peek(),mini(q5.peek(),q7.peek()));if(val==q7.peek()){q7.remove();}else{if(val==q5.peek()){q5.remove();}else{if(val==q3.peek()){q3.remove();q3.add(3*val);}}q5.add(5*val);}q7.add(7*val);}return val;}}

注：参考：http://hawstein.com/posts/ctci-ch10-math.html

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