HDU 1695 GCD(欧拉函数＋容斥原理)

来源：互联网发布：ubuntu core 教程编辑：程序博客网时间：2024/06/03 00:29

求[1..b]中的x和[1..d]中的y有多少gcd(x,y) = k.

要求gcd(x,y) = k，则等价于求 gcd(x/k,y/k) = 1.所以问题转化成求[1..b/k]和[1..d/k]中有多少对gcd(x,y) = 1.

进一步转换成枚举[1,d]区间里的n与][1, b]的区间的数互质的个数,这里d>=b.

因为[1,b]包含在[1,d]里,所以[1,b]相当于累加欧拉函数phi(i)的值,而[b + 1, d]这个区间可以通过容斥原理来求出.

要求n与][1, b]的区间的数互质的个数,可以考虑求与n不互质数的个数v, 那么互质的数自然就是b - v.

所以分解n的素因子,考虑n的素因子pi,则[1, b]中与pi不互质的数的个数是[b/pi](即其multiples).

如果这样累加[b/pi]的话则会加上很多重复的值(一个数可能有多个素因子),这里容斥原理就派上用场了.

10W内的数素因子并不多,可以通过枚举2^m的组合来求,m为素因子个数.

#include <memory.h>#include <cstdio>#include <vector>using namespace std;const int MAX = 100010;vector<int> pf[MAX];long long phi[MAX];void init_phi(){for(int i = 0; i < MAX; ++i)phi[i] = 0;phi[1] = 1;for(int i = 2; i < MAX; ++i){if(!phi[i]){for(int j = i; j < MAX; j += i){if(!phi[j])phi[j] = j;phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);if(j != i)pf[j].push_back(i);}}}for(int i = 1; i < MAX; ++i){phi[i] = phi[i] + phi[i - 1];}}long long inclusion_exclusion(long long r, long long n){long long ret = 0;for(int i = 1; i < (1 << pf[n].size()); ++i){int bits = 0, multiple = 1;for(int j = 0; j < pf[n].size(); ++j){if(i & (1 << j)){bits++;multiple *= pf[n][j];}}if(bits & 1)ret += r / multiple;else ret -= r / multiple;}return r - ret;}int main(){init_phi();int T, caseno = 1;scanf("%d", &T);while(T--){int a, b, c, d, k;scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);if(b > d) swap(b, d);printf("Case %d: ", caseno++);if(k == 0 || k > d){printf("0\n");continue;}b /= k;d /= k;long long ans = phi[b];//phi[i] stores the sum of phi(j) (1 <= j <= i).for(int i = b + 1; i <= d; ++i){ans += inclusion_exclusion(b, i);}printf("%I64d\n", ans);}return 0;}

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