POJ 1201 差分约束

来源：互联网发布：微信刷屏软件编辑：程序博客网时间：2024/06/09 19:08

Intervals

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Description

You are given n closed, integer intervals [ai, bi] and n integers c1, ..., cn.
Write a program that:
reads the number of intervals, their end points and integers c1, ..., cn from the standard input,
computes the minimal size of a set Z of integers which has at least ci common elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n,
writes the answer to the standard output.

Input

The first line of the input contains an integer n (1 <= n <= 50000) -- the number of intervals. The following n lines describe the intervals. The (i+1)-th line of the input contains three integers ai, bi and ci separated by single spaces and such that 0 <= ai <= bi <= 50000 and 1 <= ci <= bi - ai+1.

Output

The output contains exactly one integer equal to the minimal size of set Z sharing at least ci elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n.

Sample Input

53 7 38 10 36 8 11 3 110 11 1

Sample Output

题意：

题目描述：
给定n 个整数闭区间[ai, bi]和n 个整数c1, …, cn。编程实现：
1) 以标准输入方式读入闭区间的个数，每个区间的端点和整数c1, …, cn；
2) 求一个最小的整数集合Z，满足|Z∩[ai,bi]|>=ci，即Z 里边的数中范围在闭区间[ai,bi]
的个数不小于ci 个，i = 1, 2, …, n。
3) 以标准输出方式输出答案。
输入描述：
图论算法理论、实现及应用
- 200 -
输入文件包含多个测试数据，每个测试数据的第一行为一个整数n(1≤n≤50000) －表示区
间的个数。接下来n 行描述了这n 个区间：第i+1 行包含了3 个整数ai, bi, ci，用空格隔开，0≤
ai≤bi≤50000，1≤ci≤bi - ai + 1。
输入数据一直到文件尾。

输出描述：
对输入文件中的每个测试数据，输出一个整数，为最小的整数集合Z 的元素个数|Z|，整数集
合Z 满足：Z 里边的数中范围在闭区间[ai,bi]的个数不小于ci 个，i = 1, 2, …, n。

分析：
该题目可建模成一个差分约束系统。以样例输入中的测试数据为例进行分析。
设S[i]是集合Z 中小于等于i 的元素个数，即S[i] = | { s | s∈Z, s<=i } |。则有以下不等式组：
① Z 集合中范围在[ai, bi]的整数个数即S[bi] – S[ai-1]至少为ci，得不等式组①（即约束条件
①）：
S[bi] – S[ai-1] >= ci，转换成：S[ai-1] – S[bi] <= -ci。
S2 – S7 <= -3
S7 – S10 <= -3
S5 – S8 <= -1
S0 – S3 <= -1
S9 – S11 <= -1
根据实际情况，还有两个约束条件：
② S[i] – S[i-1] <= 1；
③ S[i] – S[i-1] >= 0，即S[i-1] – S[i] <= 0
最终要求的是什么？设所有区间右端点的最大值为mx，如该测试数据中mx = 11，所有区间
左端点的最小值为mn，如该测试数据中mn = 1，mn – 1 = 0，最终要求的是S[mx] – S[mn-1]的
最小值，即求S11 – S0 >= M 中的M，转换成S0 – S11 <= -M，即要求源点S11 到S0 的最短路
径长度，长度为-M。
假设最终求得的各顶点到源点S11 的最短路径长度保存在数组dist[ ]中，那么-M = dist[0] –
dist[11]，即M = dist[11] – dist[0]，即为所求。
与例4.13 直接根据约束条件构造网络图求解最短路径的方法不同的是，由于第②、③个约束
条件中的不等式有2*(mx – mn + 1)个，再加上约束条件①，构造的边数最多可达3*50000 条，所
以将所有的约束条件转换成图中的边，不是个好方法。
更好的方法是：
1) 先仅仅用约束条件①构造网络图，各顶点到源点的最短距离初始为0，这是因为Si – Smx
<= 0，所以源点到各顶点的最短距离肯定是小于0 的。注意本题中源点是S[mx]。
第4 章最短路径问题
- 201 -
2) 即刻用Bellman-Ford 算法求各顶点到源点的最短路径（注意Bellman-Ford 算法的思想），
在每次循环中，约束条件①判断完后再加上约束条件②和③的判断。
a) 约束条件②的判断：
S[i] <= S[i-1] + 1 等效于 S[i] – S[mx] <= S[i-1] – S[mx] + 1。
假设dist[i]为源点mx 到顶点Si 的最短路径，那么S[i] – S[mx]就是dist[i]，S[i-1] – S[mx] + 1
就是dist[i-1] + 1，即如果顶点Si 到源点的最短路径长度大于Si-1 到源点的最短路径长度加1，则
修改dist[i]为dist[i-1] + 1。
b) 约束条件③的判断：
S[i-1]<=S[i] 等效于 S[i-1] – S[mx] <= S[i] – S[mx]。
S[i] – S[mx]就是dist[i]，S[i-1] – S[mx]就是dist[i-1]，即如果顶点Si-1 到源点的最短路径长度
大于Si 到源点的最短路径，则修改dist[i-1]为dist[i]。

思路：这题确实挺难的，刚学差分约束，还是不太会，这题代码也是看了书上的才理解，只是在约束条件方面自己还不太会，还得多加强练习才行。这题的第一个约束条件根据差分约束的求法自己会写出了，可是第二第三个约束条件往往每题都会有变化，所以还不会求……

#include <iostream>#include <cstdio>#include <fstream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <deque>#include <vector>#include <list>#include <queue>#include <string>#include <cstring>#include <map>#define PI acos(-1.0)#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define sca(a) scanf("%d",&a)#define pri(a) printf("%d\n",a)#define M 50002#define INF 100000001using namespace std;typedef long long ll;int n,dist[M],Max,Min;struct edge{    int u,v,w;}e[M];void init(){    int i;    for(i=0;i<M;i++)        dist[i]=0;    Max=1; Min=INF;}void bellman_ford(){    int i,flag=1;    while(flag)  //没有更新最短路径，则可以结束    {        flag=0;        //Bellman_Ford本身的循环        for(i=0;i<n;i++)        {            if(dist[e[i].v]>dist[e[i].u]+e[i].w)            {                dist[e[i].v]=dist[e[i].u]+e[i].w;                flag=1;            }        }        //根据约束条件s[i]<=s[i-1]+1进一步修改s[i]值        for(i=Min;i<=Max;i++)        {            if(dist[i]>dist[i-1]+1)            {                dist[i]=dist[i-1]+1;                flag=1;            }        }        //根据约束条件s[i-1] <= s[i], 进一步修改s[i-1]值        for(i=Max;i>=Min;i--)        {            if(dist[i-1]>dist[i])            {                dist[i-1]=dist[i];                flag=1;            }        }    }}int main(){    while(~scanf("%d",&n))    {        init();        int i,u,v,w;        for(i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            //构造边<v,u-1,-2>            e[i].u=v; e[i].v=u-1; e[i].w=-w;            if(Min>u) Min=u;            if(Max<v) Max=v;        }        bellman_ford();        printf("%d\n",dist[Max]-dist[Min-1]);    }    return 0;}

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