黑车司机数学模型

黑车司机数学模型 -- 每公里人收入常值模型
        -- 拔剑, 2008-11-08


网上有困惑的妈妈贴出了一篇文章表达了她对一道小学数学题的困惑。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5cd61dd50100b12o.html#comment

原文如下：

    一道令我困惑的小学六年级数学题 (2008-11-0812:55:57) 

    小学六年级的数学题，你都会感到困惑？真的是笨呆了点吧！
    聪明的你看了这个题目后，一定会发出这样的惊呼。

    是啊，尽管自认为很有些笨，但竟会被小学六年级小学生的
    数学题困惑住，也实在是太出乎意料，希望聪明的你能帮我
    解开这个疑惑。

    题目是这样的：
        甲、乙、丙三人合租一辆出租车，甲坐到1/3处下车，乙
        坐到2/3处下车，丙坐完全程，最后付款90元，请问甲、
        乙、丙各应付款多少元？  

    一看到这道题，我和孩子拍了一下笨笨的大脑袋，太容易了！
    全程平均分为3段，每段平均30元，第一段甲、乙、丙共同分
    担各10元，第二段乙、丙两人分担，各15元，第三段30元，
    丙1人独自乘坐，自担 30元，那么算下来：甲应该分担10元，
    乙应该分担25元，丙应该掏55元。多么简单、完美的答案！

   可第二天笨孩儿拿回的作业却告诉我，答案错了，老师说，应该
   把甲的行程当作1 份，乙是2份，丙是3份，合起来应该是6份，
   90/6=15，那么甲应该掏15元，乙掏30元，丙掏45元。这是标准
   答案！

   总认为老师的答案不对，却又不敢确定，那毕竟是标准答案！
   实在也找不出自己答案的错误。聪明的你能帮一下笨妈妈和
   她的小笨孩吗？   

下面是我的答复（略有改动）：

最终结果取决于不同的数学模型--即出租车司机营运模式,并且假设平摊费用。
确定费用分摊模式很重要,比方说甲乙蹭车,丙付全资其实也可以看成正确的答案,:-P

1.你的模型（合法营运司机模型）认为：

     出租车司机的收入和他的营运里程成正比。不管带多少人，
     在同样的里程，出租车的收入是固定。
  
     F(x,y) = k*x ;   // x - distance, y-person number

     F(x,y) = 90;
     F(x,y)/3 = 30
     ==> 甲 = 30/3 = 10
         乙 = 10 + 30/2 = 25
         丙 = 90-10-25 = 55
  
   小学数学表述:
       分三段路计算, 每段司机收入 = 90/3 = 30
         第一段路: 30 -> 每人10 --> 甲:10
         第二段路: 30 -> 每人15 --> 乙:10+15=25
         第三段路: 30 -> 每人30 --> 丙:10+15+30 = 55

   [乱评]在这个模型里,丙的路程是甲的3倍,可是路费是5倍多. 可以看到合法司机期望的
   是有人乘车并且越远越好,人多不会导致收入增加. 由于短途收入少, 我们从数学
   上证明了少数司机可能发生拒载行为, 尤其在人多的时候, :-P
   

2. 老师的模型（黑车司机数学模型之理想模型之一:每公里人收入常值模型）认为：
     出租车司机的收入和他营运里程和人数同时成正比,每公里人的运营收入是固定的,
    多带一个人，多一分收入；在不同的路段即使同样的里程司机收入可能不一样的。

        F(x,y) = Sigma(x*y*k); // x -distance, y - person, k - parameter
        ==> F(x,y) = 3*x/3*k + 2*x/3*k + 1*x/3*k = 90
        ==> 2*x*k = 90 
        ==> x*k = 45

        ==> 甲 = x*k/3 = 15
            乙 = x*k/3 * 2 = 30
            丙 = x*k/3*3 = 45

   小学数学表述:
       总路程 = 3 + 2 + 1 = 6 份
           甲: 90/6 = 15
           乙: 90/6 * 2 = 30
           丙: 90/6 * 3 = 45
         第一段路: 司机收入: 15*3 = 45
         第二段路: 司机收入: 15*2 = 30
         第三段路: 司机收入: 15*1 = 15

   [乱评]在这个模型中,同样的路程,出租车司机收入越来越少,最后一段路收入只是第一段的1/3.
   在恶劣情况下,由于收入锐减,可能导致司机弃乘客而不顾,独自离去. 我们这儿也从数学
   上用代价模型证明了乘坐黑车的风险,越远尽管花钱相越少可是风险越大 :-P

3. 结论

没有也不应该有标准答案，对于小孩来说,得出其中任意一种结果都应该看成正确的,
前提是要能够说出理由.

考虑到现实世界中，出租车司机合法营运的收入只和营运距离有关系，和他带多少个人没有关系，
我们有理由相信你的代价模型在大多数情况更合适，而老师的模型合适在碰到黑车司机或者出租车
司机违规营运的时候。

建议你们家小孩拿着这个东西和老师探讨一下,对小孩的成长肯定有好处!

另外：
    中国的教育太失败了,很多老师脑子也很僵化.我记得小学的时候,老师叫解释
    "争先恐后"的含义,我写了一个"争着抢前,恐怕落后",白痴语文老师给了我一个
    大叉叉,因为成语字典上写的是"争着抢前,唯恐落后",就这么简单.

    也不能完全怪老师, 大环境决定的.标准答案的存在是我们国家教育的悲哀！

又及:
   老师的黑车司机数学模型只是简化的理想模型之一(每公里人收入常数模型).事实上,
   黑车营运模式非常灵活的,每公里人的收入也可以是人数的函数,而不是常数:
    *) 每公里的总营运收入随人数增加增加 (包车一个人的花费可能比两个人包车略少)
    *) 每公里人的收入通常随人数增加而减小到一定数字后又通常会固定为常数
       或者常数加随机噪声
    再比方说:
    *) 人多的时候,每公里人的收入可以优惠一点
    *) 淡季的时候,每公里人的收入也可以优惠一下
    *) 在灾难天气的时候,每公里人的收入可以突变为很大的常数值

   每公里人收入含义是带一个人运行一公里的收入.
   
    一笑!