整数的加法拆分

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。 

 

 

 

f[1] = 1;
f[2] = 2;
int i;
for(i=3; i<=n; i++)
{
if (i % 2) //i能被2整除的话余数是0，反之不为0，即为真
{
f[i] = f[i-1];
}
else
{
f[i] = (f[i/2] + f[i-1])%1000000000;
}
}
return f[n];

 

设集合A(m) = {(an,...,a1,a0) | m = an*2^n + ... + a1*2 + a0，m为正整数，an,...a1,a0为自然数}，
设N(S)为集合S的元素个数,即证：N(A(2k)) = N(A(2k-1)) + N(A(k)).设集合B(2k) = {(an,...,a1,a0) | 2k = an*2^n + ... + a1*2 + a0，an,...a1，a0为自然数, 且a0!=0}, 设集合C(2k) ={(an,...,a1,a0) | 2k = an*2^n + ... + a1*2 + a0，an,...a1,a0为自然数, 且a0=0}，任意B(2k)的元素(an,...a1,a0)，存在一个元素(an,...,a1,a0-1)属于A(2k-1)和它对应；并且任意A(2k-1)的元素(an,...,a1,a0)，存在一个元素(an,...,a1,a0+1)属于B(2k)和它对应,所以B(2k)和A(2k-1)之间存在一个双射关系，所以N(B(2k)) = N(A(2k-1))，同理 N(C(2k)) = N(A(k)),得证。