斐波那契数列性质

通项公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)

注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）

特性：

尾数循环

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

11235,83145,94370,77415,61785.38190,

99875,27965,16730,33695,49325,72910…

进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。[1]

平方与前后项

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

求和

证明：

当n=0时，有f(0) = f(0 + 2) - 1 = f(2) - 1,显然成立。

假设当n=k(k>=0且k为整数)时，等式成立，则有

f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)=f(k+2)-1，两边同时加上f(k+1),得

f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)+f(k+1)=f(k+2)+f(k+1)-1=f(k+3)-1

则此时n=k+1时，等式成立

综上，等式成立

奇数项求和

偶数项求和

平方求和

加减求和

和项数公式

奇数项与某两项的平方

偶数项与某两项的平方

隔项关系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]

两倍项关系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)