解线性同余方程 中国剩余定理 和 非互质的中国剩余定理

一般地，中国剩余定理是指若有一些两两互质的整数 ，则对任意的整数：，以下联立同余方程组对模  有公解：

同余方程组：

x≡b1 （mod m1）

x≡b2 （mod m2）

...

x≡bk （mod mk)

模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k

解法直接看样例：

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2+120×4+105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例题：

fzu 1402Problem 1402 猪的安家

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Problem Description

Andy和Mary养了很多猪。他们想要给猪安家。但是Andy没有足够的猪圈，很多猪只能够在一个猪圈安家。举个例子，假如有16头猪，Andy建了3个猪圈，为了保证公平，剩下1头猪就没有地方安家了。Mary生气了，骂Andy没有脑子，并让他重新建立猪圈。这回Andy建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后Andy又建造了7个猪圈，但是还有2头没有地方去。Andy都快疯了。你对这个事情感兴趣起来，你想通过Andy建造猪圈的过程，知道Andy家至少养了多少头猪。

Input

输入包含多组测试数据。每组数据第一行包含一个整数n (n <= 10)–Andy建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000),表示Andy建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定(ai, aj) = 1.

Output

输出包含一个正整数，即为Andy家至少养猪的数目。

Sample Input

3

3 1

5 1

7 2

Sample Output

16

典型的利用中国剩余定理求解线性方程组的题。

根据题意我们设有x只猪，则有方程组：

x=b1 mod a1

x=b2 mod a2

x=b3 mod a3

……

x=bi mod ai

题中说了ai是两两互质的，所以我们可以直接利用中国剩余定理解题。

那么题中的解为x=M1'M1b1+M2'M2b2……+Mk'MKbk(mod m)   m=a1*a2*a3……ai

Mi'Mi= 1(mod mi)    即Mi'Mi+mi*y=1求逆用扩展欧几里得解出Mi'

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef __int64 int64;int64 a[15],b[15];int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y){    if(b==0)    {        x=1,y=0;        return a;    }    int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);    int64 t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return d;}//求解模线性方程组x=ai(mod ni)int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n){    int i;    int64 N = 1;    int64 result = 0;    for(i = 0; i < len; i++)        N = N*n[i];    for(i = 0; i < len; i++)    {        int64 m = N/n[i];        int64 x,y;        Extend_Euclid(m,n[i],x,y);        x = (x%n[i]+n[i])%n[i];        result = (result + m*a[i]*x%N)%N;    }    return result;}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i = 0; i < n; i++)            scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);        printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));    }    return 0;}

Poj2891解线性同余方程，判有没有解

除数 余数

2

8 7

11 9

输出

31

方程组

x= a1(mod b1)

x=a2 (mod b2)

……

x=ai(mod bi)

不能利用中国剩余定理解，因为b1,b2……bi不一定两两互素

合并上升法：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;void gcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y){    if(!b) {d=a; x=1; y=0;}    else {gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}//方程 ax+by=c 的整数解int main(){    int i,j,n,flag;    long long k,m,a,r,lcm,g,x,y,A;    while(~scanf("%d",&n))    {        flag=1;        scanf("%lld%lld",&k,&m);        while(--n)        {            scanf("%lld%lld",&a,&r);            if(flag)            {                gcd(k,a,g,x,y);                if((r-m)%g) {flag=0; continue;}                x= (r-m)/g*x;                A=a/g; if(A<0) A=-A;                x= (x%A+A)%A;  // 最小正整数解 x                lcm=k*a/g;                m= ((k*x+m)%lcm+lcm)%lcm;                k=lcm;            }         //   printf("**%lld %lld\n",k,m);        }/*kx+m=Max+r=M联立得：kx-ax=r-m更新k为LCM(k,a)------>side=k/d*a;d为gcd(k,a);每次得到当前的通项公式 M=k*x+m;m为求得的M*/        if(!flag) printf("-1\n");        else printf("%lld\n",m);    }    return 0;}

最新消息：5场网络选拔赛的时间初定，详见杭电ACM新浪微博

X问题

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Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

 

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

 

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

 

Sample Input

310 31 2 30 1 2100 73 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 710000 101 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

Sample Output

103

我去 ，在hdu 用long long 就TLE ，用__int64 就AC.....

#include <iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std; __int64 a[25],b[25];void gcd(__int64 a,__int64 b,__int64& d,__int64& x,__int64& y){    if(!b) {d=a; x=1; y=0;}    else {gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}int main(){    __int64 i,j,ncase,t,n;    __int64 k,m,ai,r,g,x0,y0,x,y,B,lcm;    __int64 flag;    scanf("%I64d",&ncase);    while(ncase--)    {        scanf("%I64d%I64d",&n,&t);        for(i=0;i<t;i++)            scanf("%I64d",&a[i]);        for(i=0;i<t;i++)            scanf("%I64d",&b[i]);        k=a[0]; m=b[0];        flag=1;        for(i=1;i<t;i++)        {            ai=a[i]; r=b[i];            if(flag)            {                gcd(k,ai,g,x0,y0);                if((r-m)%g) {flag=0; break;}                x= x0*(r-m)/g;                B=ai/g;                x=(x%B+B)%B;                lcm=k/g*ai;                m=((k*x+m)%lcm+lcm)%lcm;                k=lcm;            }        }        __int64 ans=0;        if(flag)        {            if(n>=m)            ans=(n-m)/k+1;            if(m==0) ans--;    // 注意，题目求的是 正整数！！ wr几次        }        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}