欧拉函数性质
来源:互联网 发布:预测股票涨跌软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 18:50
先来介绍几个与欧拉函数有关的定理:
定理一:设m与n是互素的正整数,那么
定理二:当n为奇数时,有。
因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
定理三:设p是素数,a是一个正整数,那么
关于这个定理的证明用到容斥:
由于表示小于与互素数的正整数个数,所以用减去与它不互素的数的个数就行了。
那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数,有个。所以定理得证。
定理四:设为正整数n的素数幂分解,那么
这个定理可以根据定理一和定理三证明,其实用到的就是容斥。
定理五:设n是一个正整数,那么
这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。
定理六:设m是正整数,(a,m)=1,则:是同于方程的解。
定理七:如果n大于2,那么n的欧拉函数值是偶数。
来自苟神ACdreamer
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