ZOJ Monthly, March 2013 解题报告

首先是题目及比赛情况：

1. A Simple Tree Problem         10.81% (93/860)

2. The Review Plan I         17.14% (18/105)

3. The Review Plan II         22.97% (34/148)

4. Digging         21.94% (97/442)

5. Choosing number         26.43% (120/454)

6. Flower         22.72% (50/220)

7. GF And RP         13.33% (6/45)

8. Happy Great BG         8.41% (315/3744)

9. Arrangement         5.88% (4/68)

10. Plants vs Fat Sheeps         8.69% (2/23)

 

正如预计，H 是最简单的一道题，也是坑最多的一道......

 

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ZOJ Monthly, March 2013 解题报告

By 猛犸也钻地

 

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ZOJ 3686 : A Simple Tree Problem

题意：给出一棵树，做 M 次操作，每次要么将一棵子树上每个结点的布尔值取反，要么查询一棵子树上布尔值为 true 的个数

代码：http://ideone.com/VxoVvq

 

相当裸的题，先 dfs 将树转化成一个序列（求出每个结点的先序遍历值，以及它的所有子节点中的最大先序遍历值，以这两个值作为该结点在序列上的区间左右端点），然后用线段树维护，区间修改/区间查询，非常经典了，一个考察基本功的题目

 

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ZOJ 3687 : The Review Plan I

题意：一门课的书有 N 章内容要复习，每天可以复习一章，但是有 M 个限制条件：在第 D[i] 天中无法复习第 C[i] 章，问不同的复习方案数

代码：http://ideone.com/16bETS（bfs 版）http://ideone.com/CVBLH2（dfs 版）

 

容斥原理，不考虑约束条件，则一共有 N! 种复习方案，然后减去刚好触发一个约束条件的方案数，加上刚好触发两个约束条件的方案数，减去刚好触发三个的……依此类推

另外注意一点，输入中可能包含重复的约束条件，要先去重再算容斥，否则会得到错误的结果

 

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ZOJ 3688 : The Review Plan II

题意：一门课的书有 N 章内容要复习，每天可以复习一章，但是第 i 章不能在第 i 天或第 i + 1 天复习（最后一章则对应最后一天和第一天），问不同的复习方案数

代码：http://ideone.com/yDOinm

 

如果只限制第 i 章不能在第 i 天复习，那么明显是错位排列，而现在这个条件该怎么做呢？

嗯，反正我是不知道怎么做，问出题者去吧，我只会找规律......

 

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ZOJ 3689 : Digging

题意：古代某统治者要修建一些棺材，其中第 i 个棺材大小为 s[i]，修建需要花费 t[i] 天，如果在剩余 x 天的时候开始修建并且能够及时完成，则能获得 x * s[i] 的报酬，总共有 T 天可用，问最大能获得的报酬为多少

代码：http://ideone.com/eYK6u8

 

先不考虑总天数 T 的限制，假设他们全都能修建完成。对于某个修建顺序 a[1], a[2], .., a[N]，考虑其中任意相邻的两个任务 l = a[i] 和 r = a[i + 1]，它们能获得的报酬为：
x * s[l] + (x - t[l]) * s[r] = x * (s[l] + s[r]) - t[l] * s[r]
如果交换它们的顺序，则明显不影响其他任务（因为它们的总耗时不变），而交换后的报酬为：
x * s[r] + (x - t[r]) * s[l] = x * (s[l] + s[r]) - t[r] * s[l]
可以发现，这两个式子变换后，前面的部分都一样，后面的部分一个是 -t[l] * s[r]，一个是 -t[r] * s[l]

既然交换相邻的任务不会影响其他任务，但会改变的总报酬，那么我们就可以通过对 {1, 2, 3, .., N} 这个序列进行一定的交换，得到一个报酬最大的修建顺序，换句话说，对这些任务进行一个排序即可得到一个最优的工作顺序：

bool cmp(int l, int r){

    return -t[l] * s[r] > -t[r] * s[l];

}

现 在，有了总天数 T 的限制后，必须在这个基础上进行一个 DP，做法就是从排好序的工作中选择一部分工作去执行（上面的 cmp 函数中的表达式能转换 成 t[l] / s[l] < t[r] / s[r]，可以发现它有传递性，因此它的任意子序列也是最优的顺序），

于是剩下的 DP 部分是一个类似于背包的写法，照着题目里给的计算方式去算就行了

 

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ZOJ 3690 : Choosing number
题意：n 个人，每人各自从 1 到 m 中选出一个数字，要求是：相邻的两个人若是选择了同一个数字，那么该数字必须大于 k，求方案数

代码：http://ideone.com/LPSNL2

 

递推，a[i] 表示计算完前 i 个人，最后一个人选出的数字小于等于 k 的方案数，b[i] 则表示相应大于 k 的方案数，很明显，有：

a[i] = a[i - 1] * (k - 1) + b[i - 1] * k

b[i] = a[i - 1] * (m - k) + b[i - 1] * (m - k)

把这个递推式写成矩阵，用矩阵快速幂的方法算一下就可以了

 

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ZOJ 3691 : Flower

题意：给出空间中的一些点，在这些位置上各有 F[i] 朵花，最多可以从这个位置移出 L[i] 朵花（包括从其他地方移过来的），问最小移动半径 R 是多少时，能够把所有位置上的花移动到位置 1

代码：http://ideone.com/ITHM2U

 

没什么好说的，二分半径后做网络流。为了保证精度，可以预处理出所有距离的平方，然后在这些值里面二分半径

 

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ZOJ 3692 : GF And RP

题意：n 个人排成一排，每个人有两个值 rp[i] 和 gf[i]，现要把这 n 个人划分成若干段，要求各段的 max(rp) 加起来不超过 Rlimit，并使得最大的 max(gf) 最小

代码：http://ideone.com/PmNCio

 

从“最大的 max(gf) 最小”入手，先二分这个最小值 top，题目因此就变成了：在各段 max(gf) 均小于等于 top 的情况下，判断能否存在一种分组方式，使得 max(rp) 之和不超过  Rlimit

接下来的部分是一个 dp，O(n^2) 的 dp 应该不难想到，问题就是如何将这个 O(n^2) 的 dp 进行优化

 

首先，从第 i 个人开始向前取一些人，对于取了 k 个人时候的 max(rp)，如果第 k + 1 个人的 rp 值更小，那么把他取进去不会增加 max(rp)，反而可能使答案更小（因为 dp[i] 总是单调非降的，越往前的 dp[i] 自然越小）

因此，有意义的决策并没有多少，它们只会分别位于一系列单调递降的 rp[a[k]] 上，因此 dp 优化的第一步便是用一个单调队列，存储这些有效 rp 值。另外顺便还要维护一个离 i 最远能取到的  j，使得：

rp[a[0]] > rp[a[1]] > ... > rp[a[m]]

a[0] >= j, a[m] = i, sum(gf[j] .. gf[i]) <= top

 

更新 dp[i] 时，可能的取值除了 dp[j - 1] + rp[a[0]]，还可能是上面队列里面的 dp[a[k]] + rp[a[k+1]]

可以注意到，dp[a[k]] + rp[a[k+1]] 这个式子和当前的 i 完全无关，既然如此，我们可以在一个 set<int> 存储这些值，并与上面的那个单调队列同步加入删除相应元素，然后在更新 dp[i] 时直接取出最小的就可以了

 

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ZOJ 3693 : Happy Great BG

题意：ZJU ACM ICPC 暑假集训结束，为了庆祝这兴奋的一刻，教练 Navi 和 Fancy 决定 BG 参加集训的 N 个小朋友们。他们去了楼外楼吃自助，每个人要花费 W 元，但每 K 个人可以免费一个人，Navi 和 Fancy 会平摊此次 BG 的花销，问他们俩每人要支付多少钱

代码：http://ideone.com/hkG3IK

 

要点 1：别看错题，一共是有 N + 2 个人去吃饭，不是 N 个人

要点 2：注意 W 可能是小数（题目说了，金钱的最小单位是 0.01 元）

要点 3：即使是除以 2 这种简单的除法，也可能带来浮点误差（因为 W 本身不一定能被浮点数精确表示），所以在输出答案时要加 EPS

 

// 我真不是故意出这题坑你们的

 

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ZOJ 3694 : Arrangement

题意：有 N 个人，每个人有一个能力值 V[i]，要求选出 M 段的人，每段长度在 [L, R] 内，使得选出的那些人的平均能力值尽可能大

代码：http://ideone.com/lVHUQw

 

二分答案，然后 dp

dp[i] = sum[i] - sum[j] + dp[j] (i - R <= j <= i - L)

上面那个 dp 方程中，-sum[j] + dp[j] 这个部分和 i 无关，因此可以存储在单调队列里，将转移降低到 O(1) 的时间复杂度

 

此题由于 V[i] 能达到 1e8，又要输出两位小数，因此 double 在精度上可能不够

可以用 long double 做，或是用 long long 表示一个定点小数去做，或者用两个 long long 做 Dinkelbach 迭代都是可以的

一般来说分数规划类型的题目，用迭代会快很多，比如我这个代码在 ZOJ 上只要 310 ms，而二分的做法一般要 2500 ~ 8000 ms

 

另外需要注意，整数除法是向零取整的，而此题要求向下取整

 

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ZOJ 3695 : Plants vs Fat Sheeps

题意：植物大战肥羊，告诉你地形，肥羊们的移动策略，可建造的防御塔，问如何用最小的花费干掉所有的肥羊

代码：http://ideone.com/Flhy5U

 

仔细读题后可以发现，肥羊的路线是确定的，可建造防御塔的位置也是有限的，并且这两种防御塔都能同时攻击他们射程内的所有肥羊

因此，每个位置的每种防御塔带来的收益总是固定的，与防御塔的攻击决策和肥羊们的出现顺序及密度完全无关

在处理完肥羊行进路线后，便可以转换成一个分组背包问题

 

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