http://www.guokr.com/question/445105/?page=1

为什么除法比乘法难？

算法 | 计算机 | 数学

比如说吧。

7.6*2.5=19  不管怎么看都要比 19/7.6=2.5 要简单。

而且程序上计算乘法比计算除法占的处理器也少，貌似是这样？

求解。

8条讨论 | 修改记录

喜乐喜乐 发表于  2013-02-27 05:29

分享到：新浪微博人人豆瓣QQ空间腾讯微博

8人关注关注

3个答案

90

猪了个去智能科学专业ψ

2013-02-27 10:54

支持者： BrainMaker Jokies we_cry 节南山之什 春水涣涣 更多

计算机组成原理里面有关于乘法和除法的算法的。首先它们算的都是二进制。然后计算机硬件实现的是加法、求非（求相反数）、移位（÷2、×2）

乘法的本质是加法，人的思维方式的这种乘法在计算机里叫做原码一位乘，
原码一位乘的过程是这样的：
10111*11001=
10111*
11011=
                             10111+
                             10111+
                           10111+
                           0+
                         10111+
                       10111
（果壳不要吞空格！求！）
对计算机来说，就是10111+10111*1,
然后10111左移一位，再加上去，再左移，不加，左移，加上去，左移，加上去得到最后得数。
要判断五次是否相加（是0就不加（废话））、加法不定次数、左移4次。


▲ 对两个正数来说，它们补码的乘积等于它们乘积的补码。若乘数是负数时，这种情况就不成立了。
原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算，单独用一个异或门产生乘积的符号位。故自然提出能否让符号数字化后也参加乘法运算，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。
为了得到补码一位乘法的规律，先从补码和真值的转换公式开始讨论。（以纯小数为例）
1．  补码与真值的转换公式
设[x]补 = x0 . x1x2…xn，有：

                    n                 
x = - x0＋∑  xi2-i     
                   i＝1 

等式左边 x 为真值。此公式说明真值和补码之间的关系。
2.  补码的右移
正数右移一位，相当于乘1/2(即除2)。负数用补码表示时，右移一位也相当于乘1/2。因此，在补码运算的机器中，一个数不论其正负，连同符号位向右移一位（即符号扩展），若符号位保持不变，就等于乘1/2。
3.  补码乘法规则
设被乘数 [x]补 = x0.x1x2…xn 和乘数 [y]补 = y0.y1y2…yn （注意：包括符号位共n+1位）均为任意符号，则有补码乘法算式

                                           n
  [x·y]补= [x]补·( -y0＋∑ yi2-i )
                                                    i＝1 

为了推出串行逻辑（递推），实行分步算法，将上式展开加以变换：
[x·y]补   = [x]补·[ - y0 + y12-1 + y22-2 + … + yn2-n]
          = [x]补·[ - y0 + (y1 - y12-1) + (y22-1 - y22-2) + … + (yn2-(n-1) - yn2-n)]
          = [x]补·[(y1 - y0) + (y2 - y1) 2-1 + … + (yn - yn-1) 2-(n-1) + (0 - yn)2-n]
          = [x]补·[...................................] (yn+1  =  0)   

               
写成递推公式如下：
         [ z0 ]补 = 0 (赋初值0)
        [ z1 ]补 = 2 -1{ [ z0 ]补 +  (  yn+1 - yn ) [x]补 }       (yn+1  =  0)
; 注：2 -1表示右移，带符号扩展。补码的加减法在移位时不考虑进位C
                …
        [ zi ]补 = 2 -1{ [ zi-1 ]补 +  ( yn-i+2 - yn-i+1 ) [x]补 }             
                …
        [ zn ]补 = 2 -1{ [ zn-1 ]补 +  ( y2 - y1 ) [x]补 }
         [ zn+1 ]补 = [ zn ]补 +  (  y1 - y0 ) [x]补 = [ x·y ]补 此最后一步不需要移位（对纯小数！）
开始时，部分积为 0，即 [z0]补 = 0。然后每一步都是在前次部分积的基础上，由 (  yi+1  -  yi  ) ( i = 0，1，2，…，n) 决定对[x]补的操作，再右移一位，得到新的部分积。如此重复 n + 1步，最后一步不移位，便得到 [ x·y ]补 ，这就是有名的Booth布斯算法。
实现这种补码乘法规则时，在乘数最末位后面要增加一位补充位 yn+1 。开始时，由 ynyn+1 判断第一步该怎么操作；然后再由 yn - 1 yn 判断第二步该怎么操作。因为每做一步要右移一位，故做完第一步后，yn - 1 yn 正好移到原来 ynyn+1 的位置上。依此类推，每步都要用 ynyn+ 1 位置进行判断，我们将这两位称为判断位。
如果判断位 ynyn+1 = 01，则 yi+1－ yi  = 1，做加[x]补操作；
如果判断位 yn yn+1 = 10，则 yi+1 －yi  =  - 1，做加[ - x]补（或者－[x]补）操作；
如果判断位 yn yn+1 = 11 或 00，则 yi+1－yi  = 0，[ zi ] 加0，即保持不变。
4. 补码一位乘法运算规则
(1) 如果 yn = yn+1，部分积 [ zi ] 加0，再右移一位；
(2) 如果 yn yn+1 = 01，部分积加[ x ]补，再右移一位；
(3) 如果 yn yn+1 = 10，部分积加[ - x]补（或减[x]补），再右移一位；
这样重复进行 n+1 步，但最后一步不移位（对纯小数）。包括一位符号位，所得乘积为 2n+1 位，其中 2n 为尾数位数。对于码整数相乘，最后一步也要移位！乘积有2n+2 位，其中 2n 为尾数位数。
【例 】  x  = 0.1101， y = 0.1011，用补码一位乘法计算 x·y = ？
[解:]     求解过程如下：


所以                        [x · y]补  = 0.10001111


 
http://img.blog.163.com/photo/YWMCGuemn618MupDNNsEhA==/1983554160880616992.jpghttp://img.blog.163.com/photo/umbxqMMe60IoK1F2AZJ5hw==/1983554160880616994.jpghttp://img.blog.163.com/photo/rHqQ2sJwW7iR7iEVyuudEA==/1983554160880616995.jpghttp://img.blog.163.com/photo/j1DpgRWIfWJrk06wn-GOew==/1983554160880616997.jpghttp://img.blog.163.com/photo/LiZDyobHjTApuc2rqQ7BJg==/5364631581128664751.jpghttp://img.blog.163.com/photo/dFpS7fdXDZAOs2_ejujfDA==/1983554160880616998.jpg

实现32位Booth乘法算法的流程图
例：用Booth算法计算2×(-3)。
解：[2]补=0010，[-3]补=1101，在乘法开始之前，R0和R1中的初始值为0000和1101，R2中的值为0010。
在乘法的第一个循环中，判断R1的最低位和辅助位为10，所以进入步骤1c，将R0的值减去R2的值，结果1110送人R0，然后进人第二步，将R0和Rl右移一位，R0和R1的结果为11110110，辅助位为l。
在第二个循环中，首先判断Rl的最低位和辅助位为0l，所以进入步骤1b，作加法，R0+R2=1111+0010，结果0001送入R0，这时R0R1的内容为0001 0110，在第二步右移后变为0000 1011，辅助位为0。
在第三次循环中，判断位为10，进入步骤lc，R0减去R2，结果1110送入R0，R1不变；步骤2移位后R0和R1的内容为1111 01011，辅助位为1。
第四次循环时，因两个判断位为11，所以不作加减运算，向右移位后的结果为1111 1010，这就是运算结果(—6)。
这个乘法的过程描述如下表所示，表中乘积一栏表示的是R0、R1的内容以及一个辅助位P，黑体字表示对两个判断位的判断。

 


除法人的思维是原码一位除，计算机一般使用补码除法…
大家都知道试商嘛，计算机试商简单：全部试成1就好。。




除法和乘法的速度比较主要看电子原件的设计和精度啦…差别没有人那么大…
现代计算机使用ALU算数逻辑单元（74181）实现运算。。通过标志位的选择，可以实现取非、减一、与非、与或等等操作。。。从计算量上面来说，除法和乘法差不多，过程上面都给出来了，由于电子元件不同、运算不同，只有有很细微的差别。这个差别远远小于阵列乘法器、阵列除法器、加法进位链等结构优化带来的差别。

11条讨论

90

科学家种太阳心理学硕士ψ

2013-03-08 17:48

支持者： 小破君 喜乐喜乐 iamsincerea Happinase gildor 更多

这个念头在脑子里翻腾了几天了，终于有时间写一下。其实没什么实用的东西，主要是自己理清一下思路。
节省时间直接看下面这一段话就行：
对于完全一样的数字等式关系，为什么除法比乘法难？19/7.6=2.5怎么看都比7.6*2.5=19要难？
不光因为除法是乘法的逆运算，更重要的是除法涉及“试错”，而且试错的过程本身就是乘法运算。所以其实“除法=（多次试错的）乘法+减法”
同理，开方比乘方难，减法比加法难。

其实想清楚之后，这个问题的答案非常简单，但在想到之前，却没那么清晰。
描述整个想到的过程不是为了凑字数，只是想理清思路。

事情是这样的：
当时我正在公交车上假寐，脑子里回忆一个没什么实用价值的装B知识点，“A4纸为什么要叫A4？”
这是一个NB到爆的“格物致知”的例子，源链接如下（强烈推荐）：http://blog.renren.com/blog/232354938/870092190
通过现象反推回原理，很了不起。
简述结论如下：其实A4就是A0纸对折4次之后的纸张，面积是A0的1/16。而A0纸是一张面积为1平方米、长宽符合一个特殊比例的纸张。这个特殊比例保证了纸张不管怎么对折，长宽比都不变。
设长方形宽为x，长为y，对折前大长方形长宽比例为y/x，对折后小长方形长宽比为x/(y/2)，有方程
y/x=2x/y
解得
y=根号2*x
由于大长方形面积为1，所以有xy=1，代入y得到
根号2*(x^2)=1.
解二元一次方程组是相对容易的，但怎么在闭着眼睡觉的情况下解涉及开方的一元二次方程？

首先化简，解得
x^2=(根号2)/2=1.414/2=0.707
如何给0.707开方？
试错（会计财务管理里管这叫“内插法”，真TM给力啊）。
0.8的平方是0.64，0.9的平方是0.81，所以x在0.8和0.9之间。
0.85的平方是0.7225（脑中进行85平方的运算），0.84的平方是0.7056，说明x在0.84和0.85之间而且很接近0.84。
很可能就是0.841. 脑子里进行0.841的平方，得到0.707281。OK了，所以A0纸的宽边长度为0.841米。
x=0.841
解答完毕

这次思维训练至少有两个收获：
1、从此再装B说你知道为什么A4纸叫A4时更有底气了，因为自己算过一次印象更深。
2、深刻地明白了为什么开方比乘方难这么多……如果要算0.841的平方，直接口算三位数乘法即可；但要算0.707的开方，却要经过多次平方试错。

推而广之，除法为什么比乘法难？
乘法是怎么运算的？
1、将乘数拆解成类似一位数的形式（如123拆解成100、20、3）
2、用被乘数分别乘以拆解后的各位数字，得到不同位相乘的积
3、将积全部相加，得到总的积
所以乘法里包括了乘法口诀回忆和加法运算，而实质上乘法就是加法（3*4就是4个3相加，如果不存在乘法口诀这种东西，乘法就是加法）
除法是怎么运算的？
1、看一眼算式，大致估计出被除数是除数的几倍
2、用除数乘以估值得到积
3、用被除数减去这个积得到差
4、进行判断，这个差应大于0且小于除数，否则就要重新估值
除法运算中天然就涉及了乘法和减法运算，而且乘法的过程还包含了试错过程，其“运算有效率”不是100%，自然会比乘法本身难很多。

同理，由于包含借位过程，减法比加法难。5+18=23，直接个位相加并进位、十位相加得结果即可。23-18=5却需要先判断个位3比8小需要向十位借1，得出个位为5，然后被减数的十位2-1变成1再去减减数的十位，复杂度明显上升。