算法导论学习笔记（八）：二叉查找树

前言

昨天复习完了二叉树，今天终于可以很好的展开对二叉查找树的学习了。言归正传，查找树是一种数据结构，支持多

种动态集合操作，包括SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、PREDECESSOR、SUCCESSOR、INSERT以及

DELETE。

定义

一颗二叉查找树是按二叉树结构来组织的。这样的树可以用链表结构来表示，其中每一个结点都是一个对象。结点中

除了key域和卫星数据外，还包括域lchild、rchild和p，它们分别指向结点的做子树和右子树和父节点。如果某个子树

不存在，则相应的指针域中的值为NULL。

特性

为了方便起见，下面参照书上的写好，key[x]表示结点x的关键字。对于二叉查找树，任何结点x，其左子树的关键字

最大不超过key[x]，其右子树中的关键字最小不小于key[x]。不同的二叉查找树可以表示同一组值，这和建立二叉查找

树时插入结点的次序有关。后面的练习题12.2-1可以帮组理解，答案是C。下图便是一颗二叉查找树：

几种常见的操作的实现

在前言里提到的这些操作里，用到的最频繁的应该是查找、插入和删除操作了。其它几个操作比较简单，这里就没提

及。在这三个操作中，最复杂的应该就算是删除操作了。下面一个个来讲：

1、查找操作

对于二叉查找树来说，这应该是最常见的操作。该操作是查找树中的某个关键字。

/*************************************************** 查找关键字key是否在二叉查找树中** 若存在则返回TRUE，且p存储二叉树中关键字所在地址** 若不存在则返回FALSE，且p为NULL**************************************************/BiTree SearchTree (BiTree T, int key){if ((T == NULL) || (key == T->data))return T;else if (key < T->data){return SearchTree (T->lchild, key);}else{return SearchTree (T->rchild, key);}}

不难看出，该过程是沿着树的根结点开始进行查找的，并沿着树下降。在递归查找过程中遇到的结点构成了一条由根

结点到所要查找的结点的路径。其时间复杂度为O(h)，h为树的高度。

2、插入操作

因为我这里直接没有设卫星数据，所以只要给出要插入结点的关键字即可完成插入操作，后面的删除操作也是这样

的。当然，如果你自己添加了卫星数据，只要传递一个结点的数据类型的变量即可。

我们应该注意，在插入结点后应该保证此时的树仍然是一颗二叉查找树，代码如下：

/********************************************** ** 向二叉查找树插入一个元素 ** 若元素已经存在，则不作任何操作 ** 若元素还没有，则插入，并保持二叉查找树的性质 ***********************************************/  void TreeInsert (BiTree* T, int key)  {      if (!SearchTree (*T, key))      {          BiTree y = NULL;          BiTree x = *T;          while (x)  //找出结点y，将新结点作为y的子结点插入          {              y = x;              if (key < x->data)                  x = x->lchild;              else                  x = x->rchild;          }            BiTree s = new BitNode;   //根据给出关键字建立新结点          s->data = key;          s->rchild = s->lchild = NULL;        s->p = y;          if (NULL == y)  //表示树为空，则插入的结点作为根结点              *T = s;          else if (key < y->data)  //新结点作为y的左子结点              y->lchild = s;          else                     //新结点作为y的右子结点              y->rchild = s;      }  }

3、删除操作

最后一个常用操作，也是最复杂的一个了。删除一个结点后，就要把断开处链接起来。总的来说，有三种情况：

a、删除的结点没有子结点。这是最理想的一种情况了，这种情况下我们只要把这个结点的内存释放就可以了；

b、删除的结点只有一个子结点。这种情况相对来说也很好处理，只要将指向其自身的指针指向子结点，然后释放自 

     己所占内存即可；

c、删除的结点有两个子结点。这是最让人头疼的了，处理方式是先找出其直接先驱结点(直接后驱结点)，然后用前驱

     结点(后驱结点)的关键字代替该结点。再将前驱结点(后驱结点)的父结点和子结点线连接。

实现代码如下(我的代码里是采用后驱结点的)：

/********************************** ** 删除给定结点 ** 以删除结点直接后驱来替代删除结点 ** 也可以用直接前驱结点来替代 ***********************************/  bool Delete (BiTree* T)  {      BiTree q, s;  if (((*T)->lchild == NULL) && ((*T)->rchild == NULL)) //左右子树都为空{if (*T == (*T)->p->lchild)(*T)->p->lchild = NULL;else(*T)->p->rchild = NULL;delete *T;}else if ((*T)->lchild == NULL) //左子树为空，直接连接右子树。这里还包括没有子树的情况      {          q = *T;          *T = (*T)->rchild;(*T)->p = q->p;if (q == q->p->lchild)q->p->lchild = *T;elseq->p->rchild = *T;        delete q;      }      else if ((*T)->rchild == NULL) //右子树为空，直接连接左子树      {          q = *T;          *T = (*T)->lchild;(*T)->p = q->p;if (q == q->p->lchild)q->p->lchild = *T;elseq->p->rchild = *T;        delete q;      }      else //左子树和右子树都有      {          q = *T;          s = (*T)->rchild;          while (s->lchild)          {              q = s;              s = s->lchild;          }          (*T)->data = s->data;  //s为删除结点的直接后驱结点          if (q == *T)           //q为s的父节点              q->rchild = s->rchild;          else              q->lchild = s->rchild;          delete s;      }      return true;  }  /********************* ** 根据关键字删除结点 ** 删除成功则返回TRUE ** 删除失败返回FALSE **********************/  bool TreeDelete (BiTree* T, int key)  {      if (!*T)          return false;      else      {          if (key == (*T)->data)              return Delete (T);          else if (key < (*T)->data)              return TreeDelete (&(*T)->lchild, key);          else              return TreeDelete (&(*T)->rchild, key);      }  }

上面我自己的实现还是比较复杂的，下面贴出的是直接根据《算法导论》上给的伪代码实现的代码：

void TreeDelete (BiTree* T, int key)  {  BiTree z = SearchTree (*T, key);BiTree x, y;if ((z->lchild == NULL) || (z->rchild == NULL))y = z;elsey = Tree_Successor (z);if (y->lchild != NULL)x = y->lchild;elsex = y->rchild;if (x != NULL)x->p = y->p;if (y->p == NULL)*T = x;else if (y == y->p->lchild)y->p->lchild = x;elsey->p->rchild = x;if (y != z)z->data = y->data;delete y;}

扩展：基数树

给定两个串a = a0a1……ap和b = b0b1……b1，其中每一个ai和每一个bj都属于某个有序字符集，如果下面两条规则

之一成立，则说串a按字典序小于串b：

1）存在一个整数j，0<=j<=min(p,q)，使得ai=bi，i=0，1，……，j-1，且aj<bj；

2）p<q，且ai=bi，对所有的i=0，1，……，p成立

例如，如果a和b是位串，则根据规则1）（设j=3），有10100 < 10110；根据规则2），有10100 < 101000。这与英语字典中的排序很相似。

图12-5中示出的是基数树（radix tree）数据结构，其中存储了位串1011、10、011、100和0。当查找某个关键字a = a0a1……ap时，在深度为i的一个结点处，若ai = 0则向左转；若ai = 1则向右转。设S为一组不同的二进制串构成的集合，各串的长度之和为n。说明如何利用基数树，在O(n)时间内对S按字典序排序。例如，对图12-5中每个结点的关键字，排序的输出应该是序列0、011、10、100、1011

实现代码：

#include<iostream>#include<string>using namespace std;typedef struct BitNode{string str;struct BitNode *lchild, *rchild;BitNode():str(""),lchild(NULL),rchild(NULL){}}BiTNode, *BiTree;void TreeInsert (BiTree* T, string s){BiTree p, q;q = *T;for (int i = 0; i < s.length(); i++){if (s[i] == '0'){if (NULL == q->lchild){p = new BiTNode;q->lchild = p;}else{p = q->lchild;}}else{if (NULL == q->rchild){p = new BiTNode;q->rchild = p;}else{p = q->rchild;}}if (i == (s.length() - 1)){p->str = s;}else{q = p;}}}void Print (BiTree T){if (!T)return ;if (T->str != "")cout << T->str << endl;Print (T->lchild);Print (T->rchild);}int main()  {      string str, x;      BiTree T = new BiTNode;    while(1)      {          cin>>str;          if(str == "I")          {              cin>>x;              TreeInsert(&T, x);          }          else if(str == "P")          {              Print(T);              cout<<endl;          }      }      return 0;  }  

参考文献

算法导论-12-2-基数树