赠券收集者问题

    还记得小时候，许多商家为了促销，在小零食里面放置各种卡片，比如水浒、三国啊之类的，小朋友就屁颠屁颠地希望收集其全套。赠券收集者问题（coupon collection problem）就是描述如果要集齐全套卡片，需要买多少个零食。

    假设全套的卡片为n张，从第i-1中收集到第i种需要购买ni个卡片，比如从第0种到第1种需要买n1=1张卡片，从第1种收集到第2种需要n2种，以此类推。

    那么收集到第i-1种后，一张卡片是第i种的概率p就是：

                                                                       p=（n-i+1)/n

  那么一张卡片不是第i种的概率就是q=1-p，那么从第i-1种到第i种需要买的卡片的期望就是：

                                                                      E(ni)=sum[k*q^(k-1)*p]  (k:1->∞）

                                                                              =p*(sum[q^k])'

                                                                             =1/p

                                                                             =n/(n-i+1)

那么一共需要的卡片数就是ni从1到n的求和：

                                                                    E(n)=E[sum(ni)]   (ni:1->n)

                                                                            =sum(n/(n-i+1))

                                                                           =n*sum(1/i)

                                                                          =n*(ln n+o(1))

 那期望需要的卡片数就是n*ln n。

 那水浒108将的卡片，我们一共需要多少张呢？108*ln 108≈506。坑爹那，需要这么多张才能集齐全套，这还不算奸商有意减少某些卡片的投放量！