【扩展欧几里德】[NOIP2012]同于方程 mod

同余方程

(mod.cpp/c/pas)

【问题描述】

求关于x的同余方程 ax≡1 (mod b) 的最小正整数解。

【输入】

输入文件为mod.in
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。 

 
【输出】 
输出文件为mod.out。 
输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。 
 
【输入输出样例】 
mod.in
3 10

mod.out 
7 

 
【数据范围】 
对于40%的数据，2 ≤b≤ 1,000； 
对于60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000； 
对于100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

这一题会用到扩展欧几里德算法 http://blog.csdn.net/jiangzh7/article/details/8271123 

方程 ax≡1 (mod b) ，那么我们可以写成  (ax)%b=1%b

(ax)%b=1%b

=>  (ax)%b=1

=>  ax=nb+1

=>  ax-nb=1

=>  设 y=-n   =>   ax+by=1

然后就可以用扩展欧几里德算法求出一组 x 和 y ，y就不管了，求出x的最小整数解

ax+by = a(x+b)+b(y-a)

那么我们可以通过每次 +b 来得到 x 的最小整数解，不过这样牺牲了太多的时间（万一得到的 x 是一个很小的负数）

所以我们可以根据负数取余的特性：(-a)%b= - (a%b)

所以求 x 的最小整数解我们就可以写成 (x%b+b)%b 来快速求得了

C++ Code

/*C++ Codehttp://blog.csdn.net/jiangzh7By Jiang*/#include<cstdio>int a,b;void init(){    freopen("mod.in","r",stdin);    freopen("mod.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&a,&b);}void gcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0) { x=1;y=0; }    else{        gcd(b,a%b,x,y);        int t=x;        x=y;y=t-a/b*y;    }}void work(){    int x,y;    gcd(a,b,x,y);    printf("%d",(x%b+b)%b);}int main(){    init();    work();    return 0;}