数理逻辑：证明论初步（1）公理无 矛盾性与独立性问题的提法

    

数 理 逻 辑

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第6.01节 公理无矛盾性与独立性问题的提法

          在第3章中我们曾讲过一种公理方法，这就是将公理系统在应用集合论工具构造起来的某个对象域中进行解释的方法。集合论是这种方法的基础，但集合论论证法的不能令人满意恰恰就是数学系统转向公理化描述的根本原因。因此就出现了无矛盾性与独立性的另一种提法。有关这一切我们不只一次地说过了。这里我们仅来回顾一下这个问题的基本意义。证明演算的无矛盾性就是证明在该演算中不可能推出形如A和非A那样的两个命题。

        公理的独立性就是指由其他公理经过推理规则不可能推出这条公理。为了解决这种形式的无矛盾性与独立性，并不一定需要使用集合论的解释方法，在证明演算中某个公式不可能推出时需要利用元逻辑工具。关于公理无矛盾性和独立性的新提法也引导人们去解决这些问题的新方法。这就是所谓的证明论的方法。我们现在通过这些方法在公理算术问题中的应用来认识这些方法，我们提出的任务就是要寻找解决以下两个问题的方法：

        1）有限算术的无矛盾性；

        2）算术完全归纳公理的独立性。

        讨论带完全归纳公理的算术的无矛盾性问题，就会遇到原则性的困难，我们已有的逻辑工具要解决这样的问题已显得不足。在目前的数理逻辑有关这一方面的问题还占有足够重要的地位，现在我们就来更详细地谈一谈这个问题。

        在第四章最后一节我们曾经讲过，任何演算的无矛盾性都不可能利用在该演算中可形式化的工具进行证明。这一断言的精确意义如下：

       如果将用来证明某个演算无矛盾性的工具形式化，则结果所得的形式系统将包含在无矛盾系统中不可推出的公式。这一结论具有相当的一般性，而对于公理算术也完全正确。

      我们所接受的有限元逻辑可以那样形式化，使得其中所作的一切命题变成公理算术中的公式，而它的论证变成公理算术中的形式推演。因此，利用有限元逻辑工具不可能证明公理算术的无矛盾性。因此必须改变公理无矛盾性的提法。如果这里是实无穷思想的讨论，则有关算术的无矛盾性问题可以用相当满意的形式提出。在Brawweir为所作的数学基础分析中指出，在算术中唯一依赖于实无穷的逻辑原理是排中律。假定无排中律的算术为无矛盾，则就可以证明带排中律的算术的无矛盾性。

        在本书中我们不谈公理算术的无矛盾性，我们限于解决使用有限方法就能解决的那种无矛盾性问题。特别，我们来证明有限算术的无矛盾性问题。当然这一问题的解决是很有限的结果，但这也是很有意义的，因为我们这里利用不依赖于实无穷的概念的论证系统而证明了一个本身的对象是无穷集、并且在其中允许使用像排中律那样的工具的系统的无矛盾性。

       由此可见，有限算术无矛盾性的证明说明了在一定范围内使用实无穷概念是合理的。

【第六章第一节完】