【动态规划】分配小组

第四题 分配小组（poset.pas/c/cpp）

 

【问题描述】

有N个Mars人想要进行一项活动。他们需要分成几个小组，每个人属于其中一个小组。Mars人从出生起每个人就有一个印记，这个印记是个正整数。如果B的印记是A的倍数，那么B就是A的父亲，与地球人的定义不同，一个Mars人可以有多个父亲。特别的，A不是自己的父亲，但是所有其他与A的印记相同的人都是A的父亲。因此，除了A自己，A的父亲的父亲都是A的父亲。

Mars人十分强调子女的独立，因此进行这项活动的分组时，任何人都不能和自己的父亲分到同一小组。你的任务就是对于给定的N个Mars人，给出一种分组方案，使得小组的数量最少。显然，这个问题一定存在可行解——你可以让每个Mars人单独一组。如果有多解，任意输出一组即可。

【输入文件】

第一行：一个整数N，表示Mars人的数量。

接下来一行有N个正整数，表示每个Mars人的印记。

【输出文件】

只有一行是一个整数K，表示你分成的最少小组数量。

 

【样例输入】

5

1 1 3 1 5

 

【样例输出】

4

 

【样例说明】

分组情况：

第1组：1

第2组：1

第3组：1

第4组：3 5

三个1必须各自分别分成一组；3和5不是倍数关系，可以分成一组。

 

【数据规模及约定】

N≤5000

1≤所有的印记≤5000

对于每个测试点，你给出的分组必须是合法的，且恰好和你的小组数量相等，否则本测试点得0分。

如果你给出的小组数量和标准答案相同，则本测试点得10分，否则本测试点得0分。

 

【样例输入2】

5

1 1 3 1 5

 

【样例输出2】

5

 

【样例2说明】

分组：

第1组：1

第2组：2 3 5 

第3组：6 9 10

第4组：6 9

第5组：9

这道题需要转化一下思路，如果我们将不能分在同一组的数放在一起，按从小到大排序，若k是j的倍数，j是i的倍数，则k是i的倍数。

我们要求的是最少的划分方法，使每一个划分内不存在上述的关系链（最短可能长度为2）。这就类似于导弹拦截。

dilworth定理，最小链划分 = 最长反链。

于是我们可以求最长连续的倍数关系链。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>using std::sort;#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))long a[5010];long f[5010];long getint(){long rs=0;bool sgn=1;char tmp;do tmp = getchar();while (!isdigit(tmp)&&tmp-'-');if (tmp == '-'){tmp=getchar();sgn=0;}do rs=(rs<<3)+(rs<<1)+tmp-'0';while (isdigit(tmp=getchar()));return sgn?rs:-rs;}int main(){freopen("poset.in","r",stdin);freopen("poset.out","w",stdout);int n;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<n+1;i++){a[i] = getint();f[i] = 1;}sort(a+1,a+1+n);int ans = 0;for (int i=1;i<n+1;i++){for (int j=1;j<i;j++){if (!(a[i] % a[j])){f[i] = max(f[i],f[j]+1);}}ans = max(ans,f[i]);}printf("%d",ans);return 0;}