【动态规划】教主泡嫦娥

教主泡嫦娥

(p2.pas/cpp/in/out)

 

【问题背景】

2012年12月21日下午3点14分35秒，全世界各国的总统以及领导人都已经汇聚在中国的方舟上。

但也有很多百姓平民想搭乘方舟，毕竟他们不想就这么离开世界，所以他们决定要么登上方舟，要么毁掉方舟。

 

LHX教主听说了这件事之后，果断扔掉了手中的船票。在地球即将毁灭的那一霎那，教主自制了一个小型火箭，奔向了月球……

 

教主登上月球之后才发现，他的女朋友忘记带到月球了，为此他哭了一个月。

但细心的教主立马想起了小学学过的一篇课文，叫做《嫦娥奔月》，于是教主决定，让嫦娥做自己的新任女友。

 

【题目描述】

教主拿出他最新研制的LHX(Let's be Happy Xixi*^__^*)卫星定位系统，轻松地定位到了广寒宫的位置。

见到嫦娥之后，教主用温柔而犀利的目光瞬间迷倒了嫦娥，但嫦娥也想考验一下教主。

嫦娥对教主说：“看到那边的环形山了么？你从上面那个环走一圈我就答应你～”

 

教主用LHX卫星定位系统查看了环形山的地形，环形山上一共有N个可以识别的落脚点，以顺时针1~N编号。每个落脚点都有一个海拔，相邻的落脚点海拔不同（第1个和第N个相邻）。

教主可以选择从任意一个落脚点开始，顺时针或者逆时针走，每次走到一个相邻的落脚点，并且最后回到这个落脚点。

教主在任意时刻，都会有“上升”、“下降”两种状态的其中一种。

 

当教主从第i个落脚点，走到第j个落脚点的时候（i和j相邻）

j的海拔高于i的海拔：如果教主处于上升状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。

j的海拔低于i的海拔：如果教主处于下降状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。

 

当然，教主可以在到达一个落脚点的时候，选择切换自己的状态（上升→下降，下降→上升），每次切换需要耗费M点的体力。在起点的时候，教主可以自行选择状态并且不算切换状态，也就是说刚开始教主可以选择任意状态并且不耗费体力。

 

教主希望花费最少的体力，让嫦娥成为自己的女朋友。

 

【输入格式】

输入的第一行为两个正整数N与M，即落脚点的个数与切换状态所消耗的体力。

接下来一行包含空格隔开的N个正整数，表示了每个落脚点的高度，题目保证了相邻落脚点高度不相同。

 

【输出格式】

输出仅包含一个正整数，即教主走一圈所需消耗的最小体力值。

注意：C++选手建议使用cout输出long long类型整数。

 

【样例输入】

6 7

4 2 6 2 5 6

 

【样例输出】

27

 

【样例说明】

从第3个落脚点开始以下降状态向前走，并在第4个落脚点时切换为上升状态。

这样共耗费4 +(7)+3+1+2^2+2^2+4=27点体力。

 

【数据规模】

对于10%的数据，N ≤ 10；

对于30%的数据，N ≤ 100，a[i] ≤ 1000；

对于50%的数据，N ≤ 1000，a[i] ≤ 100000；

对于100%的数据，N ≤ 10000，a[i] ≤ 1000000，M ≤ 1000000000；

这道题朴素的O(N^2)的算法还是容易想到，即枚举起点，从左到右模拟一遍，再从右到左模拟一遍。

此题的优化很经典，因为结合了贪心和分类讨论的思想。

首先我们可以看出无论是顺时针还是逆时针答案都是相同的，

因为顺时针下降和逆时针上升是相同的。

看这个一下就明了了。主要是平移的想法，如果是下面这种变化奇数次，无论我们怎么平移（循环的），答案都是不变的。

所以只要是奇数次，我们就任意选一个起点，进行一次动规，该动规就要保证是奇数次变化。和位置有关，所以引入i；与变化的次数的奇偶性有关，所以引入j；与当前状态有关，所以引入k。f[i][j][k]。

下面这种的话，如果我们平移，容易发现，平移之后答案是会变化的，即少一个m。

因此我们动规时要保证变化了偶数次。但是要注意如果光用j记录变化次数的奇偶性是不行的，

因为无法区分是“没有变“，还是”变化了偶数次“，所以要引入k表示是否变化过。

k=1且j=0才能表示变化了偶数次。

而k=0且j=0是没有变化的情况，我们也要单独考虑，它也是任何平移都不改变答案，做两次模拟即可。

#include <cstdio>#include <string>#include <cstring>#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))typedef long long ll;ll h[10010];ll f[10010][2][2];long getint(){long rs=0;bool sgn=1;char tmp;do tmp = getchar();while (!isdigit(tmp)&&tmp-'-');if (tmp == '-'){tmp=getchar();sgn=0;}do rs=(rs<<3)+(rs<<1)+tmp-'0';while (isdigit(tmp=getchar()));return sgn?rs:-rs;}int main(){freopen("p2.in","r",stdin);freopen("p2.out","w",stdout);long n = getint();long m = getint();for (long i=1;i<n+1;i++){h[i] = getint();}h[n+1] = h[1];ll ans = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;ll ans1 = 0;for (long i=2;i<n+2;i++){if (h[i] > h[i-1]){ans1 += h[i]-h[i-1];}else{ans1 += (h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]);}}ans = ans1;ans1 = 0;for (long i=2;i<n+2;i++){if (h[i] < h[i-1]){ans1 += h[i-1]-h[i];}else{ans1 += (h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]);}}ans = min(ans,ans1);memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][0][0] = f[1][0][1] = 0;for (long i=2;i<n+2;i++){for (long j=0;j<2;j++){if (h[i] > h[i-1]){f[i][j][1] = min(f[i-1][j^1][0]+m+(h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]),f[i-1][j][1]+(h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]));f[i][j][0] = min(f[i-1][j^1][1]+m+(h[i]-h[i-1]),f[i-1][j][0]+(h[i]-h[i-1]));}else{f[i][j][1] = min(f[i-1][j^1][0]+m+(h[i-1]-h[i]),f[i-1][j][1]+(h[i-1]-h[i]));f[i][j][0] = min(f[i-1][j^1][1]+m+(h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]),f[i-1][j][0]+(h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]));}}}ans = min(ans,f[n+1][1][1]);ans = min(ans,f[n+1][1][0]);memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][0][0] = 0;for (long i=2;i<n+2;i++){for (long j=0;j<2;j++){if (h[i] > h[i-1]){f[i][j][0] = f[i-1][j][0]+(h[i]-h[i-1]);if (j == 0)f[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i]-h[i-1]);elsef[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]);}else{f[i][j][0] = f[i-1][j][0]+(h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]);if (j == 0)f[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]);elsef[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i-1]-h[i]);}}}ans = min(ans,f[n+1][0][1]-m);memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][0][0] = 0;for (long i=2;i<n+2;i++){for (long j=0;j<2;j++){if (h[i] > h[i-1]){f[i][j][0] = f[i-1][j][0]+(h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]);if (j == 0)f[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i]-h[i-1])*(h[i]-h[i-1]);elsef[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i]-h[i-1]);}else{f[i][j][0] = f[i-1][j][0]+(h[i-1]-h[i]);if (j == 0)f[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i-1]-h[i]);elsef[i][j][1] = min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+(h[i-1]-h[i])*(h[i-1]-h[i]);}}}ans = min(ans,f[n+1][0][1]-m);printf("%I64d\n",ans);return 0;}