数学之美—余弦定理在图像区域匹配上的使用

吴军博士在《数学之美》中提到了余弦定理在新闻分类中的用途，研究其它的领域，我们可以对其扩展。

余弦定理原式如下

                             

                                       其中A，B为2个多维向量。

        这里想讨论其在图像的灰度匹配（区域匹配）中的用途。首先得解释一个名词——图像的灰度直方图，灰度直方图是对各灰度出现的像素个数的概率统计描述。

比如，下面的图像像素（灰度值0~255）矩阵，总共4x7=28个像素点，其中各值出现概率

1   3   3   3   3   4   7

3   25  25 25  25  25  8

1   3   3   3   3   4   7

3   25  25 25  25  25  8

P(1)=2/28;        P(3)=10/28;         P(4)=2/28;          P(7)=2/28;         P(25)=8/28。

到现在，把P(x)看做以x为参数的离散函数，绘制在x-y图上就称为直方图。

        这里谈到的图像匹配过程中真正要使用到的仅仅是上面描述的概率过程。对于图像的一个区域，将用上面类似的统计方法统计各个灰度值的概率，并将概率记录成一个多维255维的矩阵。

比如，上面的例子，可以记录成

A=(2/28, 10/28, 2/28, 2/28, 8/28)

对于另一个区域使用同样的方法记录，比如记录如下

B=(5/28, 9/28,1/28,2/28,11/28)

到此就可以使用余弦定理了，

        上式的计算结果越接近1，则说明图像的两个区域相似度极高。确定了区域的相似度之后，就可以进一步进行比如区域分割、区域合并或图像识别等操作了。