APIO2007 数据备份 贪心+堆实现

【算法分析】

n，k都有10^5，所以考虑贪心算法

最基本的贪心就是任意一对数必须是相邻的，这是显然的。

考虑到一重要结论：

假设现在有三条相邻的线段a1,a2,a3；a1>a2,a3>a2，如果a2小于等于最优解集中的最大元素，并且最优解集中不存在a2，则必同时存在a1,a3。

证明：如果最优解中只有a1或只有a3，那我可以把它换成a2，这组解仍然满足要求，但总距离更小。如果最优解中不存在a1或a3，那我可以用a2换掉解集中的最大元素。由于上述两种情况都不可能，所以题设成立。

 换句话说，如果我们用贪心算法，就一定会先选到a2，这时候a1和a3就可以和为整体了，因为它们要么共同被选，要么共同不被选。如果a1和a3被选中了，那么费用就增加了a1+a3-a2;

但要注意，当线段在两端时就不满足了，因此，需要在两端加两个距离无穷大的哨兵。

利用这一点我们就可以构造一个增量算法：

每次选取一个最小的线段，然后把这条线段左右的两条线段合并在一起，新线段的权值为左右之和减去中间。

每一次操作之后，都会使解集中增加一条线段，而总费用增长了一个最小值。

【教训】

写del()函数的时候忘了将swap(pos[h[x]],pos[h[r]])写进去了。wa了很久

以后还是写一个change函数算了。

【代码】

#include <iostream>#include <cstring>#include <string>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int N=100005,INF=1<<30;int a[N],b[N],pos[N],L[N],R[N],h[N];int r;void up(int x){    int i=x,j;    while (i>1)    {        j=i>>1;        if (b[h[j]]>b[h[i]])        {            swap(h[i],h[j]);            swap(pos[h[i]],pos[h[j]]);            i=j;        }        else break;    }}void down(int x){    int i=x,j;    while (i*2<=r)    {        j=i*2;        if (j+1<=r && b[h[j]]>b[h[j+1]]) j++;        if (b[h[i]]>b[h[j]])        {            swap(h[i],h[j]);            swap(pos[h[i]],pos[h[j]]);            i=j;        }        else break;    }}void ins(int i){    h[++r]=i;    pos[i]=r;    up(r);}void del(int x){    swap(h[x],h[r]);    swap(pos[h[x]],pos[h[r]]);    r--;    up(x);    down(x);}int main(){    int i,k,n,ans,l,r,mid;    freopen("14.in","r",stdin);    scanf("%d%d",&n,&k);    for (i=1;i<=n;i++)        scanf("%d",&a[i]);    for (i=2;i<=n;i++)    {        b[i]=a[i]-a[i-1];        ins(i);    }    b[1]=b[n+1]=INF;    ins(1);ins(n+1);    for (i=1;i<=n+1;i++)        L[i]=i-1,R[i]=i+1;    ans=0;    while (k--)    {        mid=h[1];        ans+=b[mid];        l=L[mid];        r=R[mid];        L[R[r]]=l;        R[l]=R[r];        del(pos[mid]);        del(pos[r]);        b[l]=b[l]+b[r]-b[mid];        up(pos[l]);        down(pos[l]);    }    printf("%d\n",ans);}