编程之美2.12——快速寻找满足条件的两个数

前奏

希望此编程艺术系列能给各位带来的是一种方法，一种创造力，一种举一反三的能力。本章依然同第四章一样，选取比较简单的面试题，恭祝各位旅途愉快。同样，有任何问题，欢迎不吝指正。谢谢。

第一节、寻找满足条件的两个数
第14题（数组）：
题目：输入一个数组和一个数字，在数组中查找两个数，使得它们的和正好是输入的那个数字。
要求时间复杂度是O(n)。如果有多对数字的和等于输入的数字，输出任意一对即可。
例如输入数组1、2、4、7、11、15和数字15。由于4+11=15，因此输出4和11。

分析：

咱们试着一步一步解决这个问题（注意阐述中数列有序无序的区别）：

1. 直接穷举，从数组中任意选取两个数，判定它们的和是否为输入的那个数字。此举复杂度为O（N^2）。很显然，我们要寻找效率更高的解法。
2. 题目相当于，对每个a[i]，然后查找判断sum-a[i]是否也在原始序列中，每一次要查找的时间都要花费为O（N），这样下来，最终找到两个数还是需要O（N^2）的复杂度。那如何提高查找判断的速度列?对了，二分查找，将原来O（N）的查找时间提高到O（logN），这样对于N个a[i]，都要花logN的时间去查找相对应的sum-a[i]是否在原始序列中，总的时间复杂度已降为O（N*logN），且空间复杂度为O（1）。（如果有序，直接二分O（N*logN），如果无序，先排序后二分，复杂度同样为O（N*logN+N*logN）=O（N*logN），空间总为O（1））。
3. 有没有更好的办法列?咱们可以依据上述思路2的思想，a[i]在序列中，如果a[i]+a[k]=sum的话，那么sum-a[i]（a[k]）也必然在序列中，，举个例子，如下：
   原始序列：1、 2、 4、 7、11、15 用输入数字15减一下各个数，得到对应的序列为：
   对应序列：14、13、11、8、4、 0
   第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，如果下面出现了和上面一样的数，即a[*i]=a[*j]，就找出这俩个数来了。如上，i，j最终在第一个，和第二个序列中找到了相同的数4和11，，所以符合条件的两个数，即为4+11=15。怎么样，两端同时查找，时间复杂度瞬间缩短到了O（N），但却同时需要O（N）的空间存储第二个数组（@飞羽：要达到O(N)的复杂度，第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，首先初始i指向元素1，j指向元素0，谁指的元素小，谁先移动，由于1（i）>0（j），所以i不动，j向左移动。然后j移动到元素4发现大于元素1，故而停止移动j，开始移动i，直到i指向4，这时,i指向的元素与j指向的元素相等，故而判断4是满足条件的第一个数；然后同时移动i,j再进行判断，直到它们到达边界）。
4. 当然，你还可以构造hash表，正如编程之美上的所述，给定一个数字，根据hash映射查找另一个数字是否也在数组中，只需用O（1）的时间，这样的话，总体的算法通上述思路3 一样，也能降到O（N），但有个缺陷，就是构造hash额外增加了O（N）的空间，此点同上述思路 3。不过，空间换时间，仍不失为在时间要求较严格的情况下的一种好办法。
5. 如果数组是无序的，先排序（n*logn），然后用两个指针i，j，各自指向数组的首尾两端，令i=0，j=n-1，然后i++，j--，逐次判断a[i]+a[j]?=sum，如果某一刻a[i]+a[j]>sum，则要想办法让sum的值减小，所以此刻i不动，j--，如果某一刻a[i]+a[j]<sum，则要想办法让sum的值增大，所以此刻i++，j不动。所以，数组无序的时候，时间复杂度最终为O（n*logn+n）=O（n*logn），若原数组是有序的，则不需要事先的排序，直接O（n）搞定，且空间复杂度还是O（1），此思路是相对于上述所有思路的一种改进。（如果有序，直接两个指针两端扫描，时间O（N），如果无序，先排序后两端扫描，时间O（N*logN+N）=O（N*logN），空间始终都为O（1））。（与上述思路2相比，排序后的时间开销由之前的二分的n*logn降到了扫描的O（N））。

总结：

• 不论原序列是有序还是无序，解决这类题有以下三种办法：1、二分（若无序，先排序后二分），时间复杂度总为O（n*logn），空间复杂度为O（1）；2、扫描一遍X-S[i] 映射到一个数组或构造hash表，时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）；3、两个指针两端扫描（若无序，先排序后扫描），时间复杂度最后为：有序O（n），无序O（n*logn+n）=O（n*logn），空间复杂度都为O（1）。
• 所以，要想达到时间O（N），空间O（1）的目标，除非原数组是有序的（指针扫描法），不然，当数组无序的话，就只能先排序，后指针扫描法或二分（时间n*logn，空间O（1）），或映射或hash（时间O（n），空间O（n））。时间或空间，必须牺牲一个，自个权衡吧。
• 综上，若是数组有序的情况下，优先考虑两个指针两端扫描法，以达到最佳的时（O（N）），空（O（1））效应。否则，如果要排序的话，时间复杂度最快当然是只能达到N*logN，空间O（1）则是不在话下。

代码：

ok，在进入第二节之前，咱们先来实现思路5（这里假定数组已经是有序的），代码可以如下编写（两段代码实现）：

view plain

1. //代码一
2. //O（N）
3. Pair findSum(int *s,int n,int x)
4. {
5. //sort(s,s+n); 如果数组非有序的，那就事先排好序O（N*logN）
7. int *begin=s;
8. int *end=s+n-1;
10. while(begin<end)//俩头夹逼，或称两个指针两端扫描法，很经典的方法，O（N）
11. {
12. if(*begin+*end>x)
13. {
14. --end;
15. }
16. elseif(*begin+*end<x)
17. {
18. ++begin;
19. }
20. else
21. {
22. return Pair(*begin,*end);
23. }
24. }
26. return Pair(-1,-1);
27. }
29. //或者如下编写，
30. //代码二
31. //copyright@ zhedahht && yansha
32. //July、updated，2011.05.14。
33. bool find_num(int data[], unsignedint length,int sum,int& first_num,int& second_num)
34. {
35. if(length < 1)
36. returntrue;
38. int begin = 0;
39. int end = length - 1;
41. while(end > begin)
42. {
43. long current_sum = data[begin] + data[end];
45. if(current_sum == sum)
46. {
47. first_num = data[begin];
48. second_num = data[end];
49. returntrue;
50. }
51. elseif(current_sum > sum)
52. end--;
53. else
54. begin++;
55. }
56. returnfalse;
57. }

扩展：
1、如果在返回找到的两个数的同时，还要求你返回这两个数的位置列?
2、如果把题目中的要你寻找的两个数改为“多个数”，或任意个数列?（请看下面第二节）
3、二分查找时： left <= right，right = middle - 1;left < right，right = middle;

//算法所操作的区间,是左闭右开区间,还是左闭右闭区间,这个区间,需要在循环初始化,
//循环体是否终止的判断中,以及每次修改left,right区间值这三个地方保持一致,否则就可能出错.

//二分查找实现一
int search(int array[], int n, int v)
{
int left, right, middle;

left = 0, right = n - 1;

while (left <= right)
{
middle = left + (right-left)/2;
if (array[middle] > v)
{
right = middle - 1;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
}

return -1;
}

//二分查找实现二
int search(int array[], int n, int v)
{
int left, right, middle;

left = 0, right = n;

while (left < right)
{
middle = left + (right-left)/2;

if (array[middle] > v)
{
right = middle;
}
else if (array[middle] < v)
{
left = middle + 1;
}
else
{
return middle;
}
}

return -1;
}

第二节、寻找满足条件的多个数
第21题（数组）
2010年中兴面试题
编程求解：
输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3.......n 中 随意取几个数,
使其和等于 m ,要求将其中所有的可能组合列出来。

解法一
我想，稍后给出的程序已经足够清楚了，就是要注意到放n，和不放n个区别，即可，代码如下：

view plain

1. // 21题递归方法
2. //copyright@ July && yansha
3. //July、yansha，updated。
4. #include<list>
5. #include<iostream>
6. usingnamespace std;
8. list<int>list1;
9. void find_factor(int sum,int n)
10. {
11. // 递归出口
12. if(n <= 0 || sum <= 0)
13. return;
15. // 输出找到的结果
16. if(sum == n)
17. {
18. // 反转list
19. list1.reverse();
20. for(list<int>::iterator iter = list1.begin(); iter != list1.end(); iter++)
21. cout << *iter <<" + ";
22. cout << n << endl;
23. list1.reverse();
24. }
26. list1.push_front(n);//典型的01背包问题
27. find_factor(sum-n, n-1);//放n，n-1个数填满sum-n
28. list1.pop_front();
29. find_factor(sum, n-1);//不放n，n-1个数填满sum
30. }
32. int main()
33. {
34. int sum, n;
35. cout <<"请输入你要等于多少的数值sum:" << endl;
36. cin >> sum;
37. cout <<"请输入你要从1.....n数列中取值的n：" << endl;
38. cin >> n;
39. cout <<"所有可能的序列，如下：" << endl;
40. find_factor(sum,n);
41. return 0;
42. }

解法二
@zhouzhenren：
这个问题属于子集和问题（也是背包问题）。本程序采用 回溯法+剪枝
X数组是解向量，t=∑(1,..,k-1)Wi*Xi, r=∑(k,..,n)Wi
若t+Wk+W(k+1)<=M,则Xk=true，递归左儿子(X1,X2,..,X(k-1),1)；否则剪枝；
若t+r-Wk>=M && t+W(k+1)<=M,则置Xk=0，递归右儿子(X1,X2,..,X(k-1),0)；否则剪枝；
本题中W数组就是(1,2,..,n),所以直接用k代替WK值。

代码编写如下：

view plain

1. //copyright@ 2011 zhouzhenren
3. //输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3.......n 中 随意取几个数,
4. //使其和等于 m ,要求将其中所有的可能组合列出来。
6. #include <stdio.h>
7. #include <stdlib.h>
8. #include <memory.h>
10. /**
11. * 输入t， r， 尝试Wk
12. */
13. void sumofsub(int t,int k ,int r, int& M,bool& flag,bool* X)
14. {
15. X[k] =true;// 选第k个数
16. if (t + k == M) // 若找到一个和为M，则设置解向量的标志位，输出解
17. {
18. flag =true;
19. for (int i = 1; i <= k; ++i)
20. {
21. if (X[i] == 1)
22. {
23. printf("%d ", i);
24. }
25. }
26. printf("/n");
27. }
28. else
29. { // 若第k+1个数满足条件，则递归左子树
30. if (t + k + (k+1) <= M)
31. {
32. sumofsub(t + k, k + 1, r - k, M, flag, X);
33. }
34. // 若不选第k个数，选第k+1个数满足条件，则递归右子树
35. if ((t + r - k >= M) && (t + (k+1) <= M))
36. {
37. X[k] =false;
38. sumofsub(t, k + 1, r - k, M, flag, X);
39. }
40. }
41. }
43. void search(int& N,int& M)
44. {
45. // 初始化解空间
46. bool* X = (bool*)malloc(sizeof(bool) * (N+1));
47. memset(X,false,sizeof(bool) * (N+1));
48. int sum = (N + 1) * N * 0.5f;
49. if (1 > M || sum < M) // 预先排除无解情况
50. {
51. printf("not found/n");
52. return;
53. }
54. bool f = false;
55. sumofsub(0, 1, sum, M, f, X);
56. if (!f)
57. {
58. printf("not found/n");
59. }
60. free(X);
61. }
63. int main()
64. {
65. int N, M;
66. printf("请输入整数N和M/n");
67. scanf("%d%d", &N, &M);
68. search(N, M);
69. return 0;
70. }

扩展：

1、从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的（网易）。

2、有两个序列a,b，大小都为n,序列元素的值任意整数，无序；
要求：通过交换a,b中的元素，使[序列a元素的和]与[序列b元素的和]之间的差最小。
例如:
var a=[100,99,98,1,2, 3];
var b=[1, 2, 3, 4,5,40];（微软100题第32题）。

@well：[fairywell]:
给出扩展问题 1 的一个解法：
1、从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的（网易）。
双端 LIS 问题，用 DP 的思想可解，目标规划函数 max{ b[i] + c[i] - 1 }, 其中 b[i] 为从左到右， 0 ~ i 个数之间满足递增的数字个数； c[i] 为从右到左， n-1 ~ i 个数之间满足递增的数字个数。最后结果为 n - max + 1。其中 DP 的时候，可以维护一个 inc[] 数组表示递增数字序列，inc[i] 为从小到大第 i 大的数字，然后在计算 b[i] c[i] 的时候使用二分查找在 inc[] 中找出区间 inc[0] ~ inc[i-1] 中小于 a[i] 的元素个数（low）。
源代码如下：

view plain

1. /**
2. * The problem:
3. * 从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的（网易）。
4. * use binary search, perhaps you should compile it with -std=c99
5. * fairywell 2011
6. */
7. #include <stdio.h>
9. #define MAX_NUM (1U<<31)
11. int
12. main()
13. {
14. int i, n, low, high, mid, max;
16. printf("Input how many numbers there are: ");
17. scanf("%d/n", &n);
18. /* a[] holds the numbers, b[i] holds the number of increasing numbers
19. * from a[0] to a[i], c[i] holds the number of increasing numbers
20. * from a[n-1] to a[i]
21. * inc[] holds the increasing numbers
22. * VLA needs c99 features, compile with -stc=c99
23. */
24. double a[n], b[n], c[n], inc[n];
26. printf("Please input the numbers:/n");
27. for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%lf", &a[i]);
29. // update array b from left to right
30. for (i = 0; i < n; ++i) inc[i] = (unsigned) MAX_NUM;
31. //b[0] = 0;
32. for (i = 0; i < n; ++i) {
33. low = 0; high = i;
34. while (low < high) {
35. mid = low + (high-low)*0.5;
36. if (inc[mid] < a[i]) low = mid + 1;
37. else high = mid;
38. }
39. b[i] = low + 1;
40. inc[low] = a[i];
41. }
43. // update array c from right to left
44. for (i = 0; i < n; ++i) inc[i] = (unsigned) MAX_NUM;
45. //c[0] = 0;
46. for (i = n-1; i >= 0; --i) {
47. low = 0; high = i;
48. while (low < high) {
49. mid = low + (high-low)*0.5;
50. if (inc[mid] < a[i]) low = mid + 1;
51. else high = mid;
52. }
53. c[i] = low + 1;
54. inc[low] = a[i];
55. }
57. max = 0;
58. for (i = 0; i < n; ++i )
59. if (b[i]+c[i] > max) max = b[i] + c[i];
60. printf("%d number(s) should be erased at least./n", n+1-max);
61. return 0;
62. }

@yansha：fairywell的程序很赞，时间复杂度O(nlogn)，这也是我能想到的时间复杂度最优值了。不知能不能达到O(n)。

扩展题第2题

当前数组a和数组b的和之差为
A = sum(a) - sum(b)

a的第i个元素和b的第j个元素交换后，a和b的和之差为
A' = sum(a) - a[i] + b[j] - （sum(b) - b[j] + a[i])
= sum(a) - sum(b) - 2 (a[i] - b[j])
= A - 2 (a[i] - b[j])

设x = a[i] - b[j]，得
|A| - |A'| = |A| - |A-2x|

假设A > 0,

当x 在 (0,A)之间时，做这样的交换才能使得交换后的a和b的和之差变小，x越接近A/2效果越好,
如果找不到在(0,A)之间的x，则当前的a和b就是答案。

所以算法大概如下：
在a和b中寻找使得x在(0,A)之间并且最接近A/2的i和j，交换相应的i和j元素，重新计算A后，重复前面的步骤直至找不到(0,A)之间的x为止。

接上，@yuan：
a[i]-b[j]要接近A/2，则可以这样想，
我们可以对于a数组的任意一个a[k],在数组b中找出与a[k]-C最接近的数（C就是常数，也就是0.5*A）
这个数要么就是a[k]-C，要么就是比他稍大，要么比他稍小，所以可以要二分查找。

查找最后一个小于等于a[k]-C的数和第一个大于等于a[k]-C的数，
然后看哪一个与a[k]-C更加接近，所以T(n) = nlogn。

本章完。

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6419466