[算法导论读书笔记]Bellman-Ford算法（单源最短路径）

    Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教科书所忽略，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及，因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法，因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而，限于资料匮乏，有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如：该算法值得掌握么？怎样用编程语言具体实现？有哪些优化？与SPFA算法有关系么？本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。给出几种实现程序，从理论和实测两方面分析他们的时间复杂度，供大家在备战省选和后续的noi时参考。

Bellman-Ford算法思想

    Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）    初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）    迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）    检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点

1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。

5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

代码示例：

#include <iostream>#include <stdio.h>using namespace std;#define MAX 100000#define N 1010int nNode, nEdge, original;typedef struct Edge{int u, v;int cost;}Edge;Edge edge[N];int d[N], pre[N];void Relax(int u, int v, int w){if(d[v] > d[u] + w ){d[v] = d[u] + w;pre[v] = u;}}void Initialize_Single_source(){for( int i = 1; i <= nNode; i++){d[i] = MAX;pre[i] = 0;}d[original] = 0;}bool Bellman_Ford(){Initialize_Single_source();for( int i = 1; i < nNode; i++ ){for( int j = 1; j <= nEdge; j++){Relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].cost);}}for( int j = 1; j <= nEdge; j++){if( d[edge[j].u] > d[edge[j].v] + edge[j].cost){return false;}return true;}}void Print_Path(int root){  if(0 != root){Print_Path(pre[root]);printf("-->%d", root);}}int main(int argc, char* argv[]){scanf("%d%d%d", &nNode, &nEdge, &original);for( int i = 1; i <= nEdge; i++ ){scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);}if (Bellman_Ford()){for( int i = 1; i <= nNode; i++){printf("\nnode%d: %d(km)\tPath:",i, d[i]);Print_Path(i);}printf("\n");}else{printf("Have negative circle\n");}return 0;}

测试结果：

参考资料：

http://www.cppblog.com/infinity/archive/2011/10/20/66621.html

http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6791765