第04章_函数和递归

第04章_函数和递归

Example_0401_组合数.cpp

Example_0403_孪生素数.cpp

Example_0406_用递归法计算阶乘.cpp

 

个人认为，这章的内容比较简单，而且习题也比较少，稍要思考的有第一个和第二个例子。

其中，第一个例子中需要去思考如何使用数学的方法去优化程序，而第二个程序则是用到数学上的定理~

 

// Example_0401_组合数.cpp/** * 题目名称：组合数 * 题目描述：输入非负整数m和n，输出组合数C(n,m)=n!/( (n-m)!*m! ), 其中 m <= n <= 20 **//** * 下面注释部分代码为经典做法，直接使用一个函数代替这个阶乘，但是，这个方法容易在中间计算时数字范围溢出。 * 为了解决这一问题，我们采用了另一种思路做法，以将这个溢出问题解决。 * * #include <stdio.h> * * inline double f(double n) * { *      double i, m = 1; *     for (i = 1; i <= n; i++){ *          m *= i; *      } *      return m; * } * * int main() * { *      double m, n; *      scanf("%lf%lf", &m, &n); *      printf("%.0lf\n", f(n) / (f(m) * f(n - m) )); *      return 0; * } **/#include <iostream>using namespace std;long long cnm(int n, int m){    long s = 1;    if(m > n / 2){  // 先做最小优化，C(m, n)的结果与 C(m, m - n)相同        m = n - m;    }               // 经过上面的if处理后，m的值就一定比n-m要小了。                    // 对于1, 2, 3, ..., m, m+1, ..., n-m, ..., n, 公式中的n! 与 m! (n-m)!会有重叠部分                    // 我们可以将n!与(n-m)!重复部分去掉，那么i的初值就可以是i = n-m+1,                    // 嵌入到这个循环中的while循环，用于除数部分                    // 为了防止溢出，一边计算(n-m+1)!，一边除掉1, 2, 3...m能除的数。    int k = 1;    for(int i = n - m + 1; i<= n; ++i){        s *= (long long) i;     //   cout << "i = " << i << " s = " << s << endl;        while(k <= m && s % k == 0){            s /= (long long) k;    //    cout << "进入了while循环:" << " k = " << k << "   s  = " << s << endl;            ++k;        }    }    return s;}int main(){    long long m, n;    cin >> n >> m;    long long result = cnm(n, m);    cout << result << endl;    return 0;}/** * 观察输出过程： *  7 3 *  i = 5 s = 5 *  进入了while循环: k = 1   s  = 5 *  i = 6 s = 30 *  进入了while循环: k = 2   s  = 15 *  进入了while循环: k = 3   s  = 5 *  i = 7 s = 35 *  35 **/

 

// Example_0403_孪生素数.cpp/** * 题目名称：孪生素数 * 题目描述： *      如果n和n+2都是素数，则称它们是孪生素数。输入m，输出两个数均不超过m的最大孪生素数。 5 <= m <= 10000. * 样例输入： 20 * 样例输出： 17 18 * 样例输入: 1000 * 样例输出： 881 883 **/ #include <iostream> #include <cmath> #include <assert.h> using namespace std; int is_prime(int x) {     int i, m;     assert( x >= 0);  // 宏assert用于错误检测，当表达式为零时，宏写错误到STDERR并退出程序执行。                       // 在程序调用的"调试"中一般会使用这个宏，不过在写一些工程时，一般不会用到这个。     if(x == 1) {      // 1不是素数          return 0;     }     static_cast <int> (m = floor(sqrt(x) + 0.5)); // 这里前面提到过，使用+0.5是为了减少误差，防止0.9999不能为1的情况。     for( i = 2; i <= m; ++i){      // 这里，还将判断的界限设置为原来数的开方，减少判断的次数，这里不使用i*i<=x是为了防止内存溢出。         if(x % i == 0){             return 0;      // 有余数则非素数         }     }     return 1;              // 全过测试通过，为素数。}// 补充：定理，如果n不是素数，则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个因子d// 证明：如果n不是素数，则由定义n有一个因子d满足1<d<n，//       如果d大于sqrt(n), 则n/d是满足1<n/d<=sqrt(n)的一个因子。int main(){     int m;     cin >> m;     for(int i = m ; i >= 5; --i){         if (is_prime(i) && is_prime(i - 2) ){             cout << i - 2 << " " << i << endl;            break;         }     }     return 0;}

 

// Example_0406_用递归法计算阶乘.cpp/** * 题目名称：用递归法计算阶乘 * 题目描述：阶乘的函数f(n) = n!可以定义为：f(0) = 1, f(n) = f(n - 1) * n ( n >= 1) **/#include <stdio.h>int f(int n){    return n == 0 ? 1 : f(n - 1) * n;}int main(){    printf("%d\n", f(3));    return 0;}