连分式

一般连分式，可以写为：

简记为：

其对应的截断部分和，记为，令x_n =A_n/B_n ，于是

                      

如果系列{x_n}收敛，则连分式收敛，并有确定值；否则，连分式发散。

性质1 

递推公式    

                 

行列式公式：

  

 性质2    等价变换：如果{c_i} = {c₁,c₂,c₃, ...}为任一非零无穷系列，则有

               

               注：两种特殊情况

1）如果所有a_i 非零，则有，其中c₁ = 1/a₁,c₂ =a₁/a₂,c₃ =a₂/(a₁a₃), 一般地c_n+1 = 1/(a_n+1c_n).

2）如果所有b_i 非零，则存在一系列{d_i}，使得，其中d₁ = 1/b₁ ，其他d_n+1 = 1/(b_nb_n+1).

性质3   无理性条件：如果{a_i} 和{b_i}均为正整数，且对足够大的i，a_i小于等于b_i，则有的收敛值为无理数。

线性分式变换(或称Möbius transformation)    形如  此处z为复变量，a,b,c,d为复常数，且ad ≠ bc。这是一个扩展复平面上的可逆保角变换，逆变换为。

 

连分式可视为线性分式变换的复合变换

记

   

   

于是，成立  

                 

连分式与级数

1. 欧拉连分式公式

亦写为

于是，可得