【数论】法 雷 数 列

实数包含有理数和无理数，任何有理数都可以表示为p/q(p,q是整数，q!=0)的形式，如果指定一个分数的分母不超过某个值，对于一般的有理数或者无理数，是不可以用一个分数来准确地表示的。我们这里主要讨论，如何找出一对分数p1/q1和p2/q2,使得q1 和q2 小于给定的值n，而p1/q1和p2/q2尽可能接近一个给定的实数.。为了便于说明，我们用C++语言的格式给出问题的定义：

函数接口void search( int &p1, int &q1, int &p2,int &q2, int n, double f)

功能: 找出一对不可约p1/q1 和p2/q2, 使得这两个分数的分母不大于n, 且p1/q1 <= f <= p2/q2, 且这两个分数尽可能接近f。

在解决这个问题之前，我们先介绍一些准备知识。

定义1：最简分数（也称既约分数或不可约分数）。若p,q的最大公约数是1，我们称分数p/q 是最简分数。不特别说明，以下提到的分数的分子和分母均为非负整数。

定义2：真分数，若p,q是正整数，0<p/q<1, 我们说p/q是真分数

定理1：分数a/b, c/d是最简真分数（也可以是0/1或者1/1）且a/b <c/d, 则有

1）数(a+c)/(b+d)是一个最简分数，

2）a/b < (a+c)/(b+d)<b/d.

我们这里仅对第二个结论给出证明。我们定义r1 =a /b, r2= c/d, 则

（a+c）/(b+d) – a/b

= (ab+cb-ab-ad)/(bb+bd)

=(cb-ad)/(bb+bd)

=(r2*bd-r1bd)/(bb+bd)

= (r2-r1)*bd / (bb+bd) >0

固(a+c)/(b+d)>a/b。同理可证 (a+c)/(b+d) < c/d

定义3：法雷数列

对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个序列称为n级法雷数列，以Fn表示。如F5为：1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5.

法雷数列的构造：

法雷数列的构造可采用2分法，即如果 a/b， c/d （a/b<c/d）是一个n级法雷数列中的两个元素，且b+d<=n, 则可以在a/b, c/d 中间插入一个分数 (a+c)/(b+d)。下面以5级法雷数列为例，给出详细的过程。

step1: 准备两个数 0/1, 1/1 作为整个法雷数列的第一个元素和最后一个元素

0/1, 1/1

step2: 在两个数中间插入1个数1/2, 变为

0/1,1/2, 1/1

step3: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为

0/1,1/3, 1/2,2/3, 1/1

step4: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为

0/1,1/4, 1/3,2/5, 1/2,3/5, 2/3,3/4, 1/1

step5: 0/1 和 1/4 之间 和3/4和 1/1 仍然可插入1个数，使得插入的数分母不大于5

0/1,1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4,4/5, 1/1

至此，该序列包含了所有分母不大于5的最简真分数，且各个分数以递增顺序排列。

法雷数列的性质：

1.除了1级法雷数列外，所有的法雷数列都有奇数个元素，其中居于正中间的那个元素一定是1/2.

2.当n趋于正无穷时，n级法雷数列包含的元素的个数趋于3/(π*π) * n²≈ 0.30396355 * n².

3.n级法雷数列中，若相邻两个元素是a/b 和c/d (a/b<c/d),则这两个数的差为1/bd, 这个差的最小值为1/(n*(n-1)), 最大值为1/n, 在法雷数列的第一个元素（0/1）与其后继以及最后一个元素（1/1）与前驱之间的差取到最大值，而正中间的那个元素1/2 与其前驱和后继元素之间的差取次大值 1/(n*2).

实数化分数方法

对于有理数0，我们可以用0/1表示；对于有理数x<0, 总可以表示为 –(p/q), 其中p>0,q>0；而对于所有大于等于1的正有理数，总可以表示为 n + p/q ( n, p, q为非负整数，q!=1, p<q)的形式, 以分数形式可表示为(nq + p) /q。 因此，转化小于1的正有理数为分数是实数转化为分数的基本问题。由于无理数不能用一个分数来准确的表示，因此，我们可用两个分数 a/b, c/d 来逼近这个实数，使得无理数f >= a/b且f<=c/d，a/b称为实数f的下界，c/d称为实数f的上界，求这个下界和上界实际上是找出一个n级法雷数列中两个相邻的元素。下面是化一个小于1的正实数为分数的算法。

Step1: 置实数f 的下界为 a/b=0/1, 上界为c/d =1/1。

Step2: 计算出下界和上界之间的数 p/q = (a+c)/(b+d)

Step3: 若 q>n(分母大于指定值），计算中止。

若 p/q =f，a/bßp/q , c/dßp/q, 计算中止。

若 p/q > f, 置下界a/b为p/q

若 p/q< f, 置上界c/d为p/q

Step4, 重复step 2-3

当计算终止时，a/b为这个实数的下界，c/d为这个实数的上界。

如果要转化的实数f小于1/2, 用上述逐步求精的步骤，计算出上下界，迭代次数稍多。我们可用下面的步骤代替step1, 直接找出一个更精确的上下界。

若e= 1/x 的向下取整，则这个实数的下界和上界为 1/(e+1)和1/e

误差分析，根据法雷数列性质3我们知道，n级法雷数列中相邻的两个元素可以表示一个区间 [a/b, c/d]，前一个元素q/b为区间的下界，后一个元素c/d为区间的上界，这个区间的宽度h =c/d- a/b,满足 1/n <= h <1/(n*n-1)。若运气好的话，一个实数正好落在一个宽度为1/n(n-1) 的区间，这个区间的下界或上界与这个实数的差不超过abs(1/(n*(n-1)))。若运气很差，一个实数恰好小于法雷序列的第2个元素或者最后一个元素。则这个元素的下界和上界与这个实数的差不超过1/n。

递归生成代码：

#include<iostream>using namespace std;void Produce(int a, int b, int c, int d, int n){if( b+d>n ) return;Produce(a, b, a+c, b+d, n);cout<<a+c<<"/"<<b+d<<endl;Produce(a+c, b+d, c, d, n);}int main(){int n;cin>>n;cout<<0<<"/"<<1<<endl;Produce(0,1,1,1, n);cout<<1<<"/"<<1<<endl;}