动态规划初步探索

动态规划（dynamic programming），又称dp问题，是求决策过程最优化的数学方法。即把多阶段过程转化为一系列但阶段问题，利用各阶段之间的联系，逐个求解。至于具体的定义百度google一下，这里就不再啰嗦了。简单说一下我自己理解的动态规划，类似于分治法（当然他们肯定不一样），将期待解决的问题分解成若干个子问题，先求子问题，将每个子问题的解存入表中（因为子问题之间不像分治法，分治法子问题之间是没有联系的，而dp问题是有联系的，他的子问题需要用到其他子问题的解），然后最后求得待解决的问题。

 

下面用一个很简单的例子来具体说明一下dp问题的解题过程。题目如下

（地址：http://www.bianchengla.com/course/ds/practise/problem?id=1321）：

 

描述

在一个星期三的早上，某同学想用扔硬币的方式来决定是否要去上算法课。

 

他扔 n 次硬币，如果当中有连续 m 次以上（含 m 次）的结果都是正面，那么他就去上课，否则就接着睡觉。（假设每次扔硬币扔出的正反两面的概率都是 0.5。）

输入

输入的每行有一组数据，分别为 n 和 m (0 < n <= 2000, 0 < m <= 10)。输入以 0 0 结尾。

输出

对于每组数据，输出他去上课的概率，四舍五入保留小数点后 2 位。

样例输入

1 12 15 5100 52000 52 30 0

样例输出

0.500.750.030.811.000.00

 

dp问题首先是需要打表，我们根据他的数据要求开一个数组，大小为2001， dp[2001]。这个数组用来存放子问题的解，比如dp[i]就代表投完第i个硬币时，已有连续m个正面的概率。具体假如m是2，dp[0],dp[1]肯定0，因为投币0次或1次不可能出现连续两次正面。

分三种情况讨论：

1. n小于m，即dp数组下标i要小于m的时候，概率值都为0，原因如上所述。

2. 下标i等于m，也就是说n等m，投多少次刚好多少次是正面，这个概率是0.5的m次方

3. 下标i大于m，即n大于m的时候，这个又要分两种情况，概率是这两种情况之和：

(1). 在i之前已经有m次连续了，如果恰好前面第i-1个是连续m次，那第i次如果是正面的话就是连续m+1次符合题目要求，如果第i次是反面的话那恰好就是m次也满足题目，也就是说他第i次无论是正面还是反面都满足条件，所以dp[i]的概率第一种情况由dp[i-1]组成。

(2). 第i次的时候恰好连续了m次，也就是说他前面m-1次都是正面，那他前面m次的那次是必须是一个反面，否则不能刚好在第i次的时候连续m次正面了。他前面m次的那次是一个反面，那个反面的前一次有连续m次的概率是dp[i-(m+1)]，那他没有连续m次正面的概率是1-dp[i-(m+1)]，他后面的那次是反面，所以概率是0.5然后接着有m次的0.5概率，即总共是0.5的m+1次方。第二种情况的概率是：dp[i-(m+1)]*pow(0.5, m)

所以第三种情况的概率是他们两个之和：dp[i-1]+dp[i-(m+1)]*pow(0.5, m)

下面是具体实现代码：

#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){double dp[2001];int m, n, i;scanf("%d", &n);scanf("%d", &m);while(n != 0 && m != 0){for(i = 0; i < m; i++)dp[i] = 0;dp[m] = pow(0.5, m);for(i = m+1; i <= n; i++)dp[i] = dp[i-1] + (1-dp[i-m-1])*pow(0.5, m+1);printf("%.2lf/n", dp[n]);scanf("%d", &n);scanf("%d", &m);}return 0;} 

整体思路很简单：分析每个步骤中的概率，然后打表。以后会接着探索dp问题，这篇是dp问题的第一章。