特解的意义

特解的意义

考虑如下差分方程f(n)=7*f(n-1)-10*f(n-2)+4*n^2,

如果采用我以前认为的标准方法，将要进行烦琐的计算；下面先进行思维抽象解答，然后说明特解的意义：

将上面的方程变形为特征方程形式有：

S1

x^2=7*x-10

鉴于4*n^2形式的特别，需要对方程进行三次连减才能变为齐次的，如果是指数形式的，这里采用的方法是不一样的。

先提高一个级别:

S2

x*x^2=x*7*x-x*10

然后下面的减去上面,S2-S1的式子有：

S3

(x-1)*x^2=(x-1)*7*x-(x-1)*10

从这里我们能发现规律，每减一次相当于在原来的特征方程两边乘以(x-1)，而由于4*n^2是一个幂级数，了解之后可以理解为方程两边乘以3次(x-1)，即可消去。从这个程度上可以说它的特解形式为A*x^2+B*x,因为指数的底为1，所以变为这种幂级数形式了。