指数母函数的基础公式的另外证明
来源:互联网 发布:台湾同志网络剧 编辑:程序博客网 时间:2024/06/11 14:06
指数母函数的基础公式的另外证明
e^x*e^x=e^(2x)
前面证明的过程中,得出了这样的结论e^x*e^y=e^(x+y),不过在其中采用了很多的代数方法,在这里我们想直接计算:
对于x^n的系数e^x与e^x的展开式一一相乘有如下式子成立:
x^n/n!*0!+x^(n-1)*x^1/(n-1)!*1!+x^(n-2)*x^2/(n-2)!*2!+...+x^(n-n)*x^n/(n-n)!*n!
关注其中的一般项:x^(n-r)*x^r/(n-r)!*r!=x^n/(n-r)!*r!
其中的系数为1/(n-r)!*r!
因为C(n,r)=n!/(n-r)!*r! {当然这个式子经过稍微的变形}
GO
上面的再变形有:
1/(n-r)!*r!=C(n,r)/n! (注意这里在相对于r的变化中,n可以看作固定的)
所以前面的可以简化为:
x^n/n!*0!+x^(n-1)*x^1/(n-1)!*1!+x^(n-2)*x^2/(n-2)!*2!+...+x^(n-n)*x^n/(n-n)!*n!
Go
x^n*1/n!*{C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) }
Go
x^n*1/n!*2^n (应用基础母函数的公式)
GO
(2x)^n*1/n!
从而可以得到证明。
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