西南交大大学生营养早餐优化食谱

来源：互联网发布：phpb2c商城源码编辑：程序博客网时间：2024/06/10 16:31

《数学建模》第一次小作业

200 年月日

学院

信息科学与技术学院

专业

通信工程

姓名

肖成

学号

20062118

课程

名称

数学建模B

作业

名称

西南交大大学生营养早餐优化食谱

指导教师

王璐

成绩

摘要

本次建模先在权威网站查出大学生男女生早餐推荐摄入营养量（能量及三大营养素），然后调查交大食堂提供的早餐各种食品的四大营养素含量，通过优化模型解出满足营养条件的最经济食谱，当然，考虑到大家换口味的问题，我们还给出了次优化的营养食谱。

一、问题重述

生活中我们会很自觉的遇到一些优化问题，然后凭着感觉和经验找到最优解，但是一些问题不是凭感觉就能解决的，例如说早餐问题，每个人每天吃早餐，他可能根据口味、经济、营养等因素挑选不同的食物搭配，这些搭配很多，但到底科不科学，能不能满足我们的身体需求，是否经济实惠，我们可能都没有注意，现在我们根据中国营养协会发表的中国居民膳食参考营养摄入量，以及在交大食堂常见早餐食品的营养含量，做出几份既经济实惠又满足营养需求的食谱。

下面是根据中国营养协会提出的中国居民膳食参考营养摄入量表查出的

不同性别大学生早餐能量与三大营养素推荐摄入量

性别

能量（KJ）

蛋白质（g）

脂肪（g）

碳水化合物（g）

男生finall

2950

15.8

138.1

女生

2620

21.5

12.6

110.2

交大食堂早餐提供食品的四营养素含量表及价格

食品/营养素

能量（KJ/份）

蛋白质（g/份）

脂肪（g/份）

碳水化合物（g/份）

单价（元）

煮鸡蛋1

301

6.8

4.4

1.4

0.5

煎蛋2

451

5.9

8.4

1.25

0.7

牛奶3

226

3.0

3.2

3.4

0.6

豆浆4

1.8

0.7

1.1

0.6

面条（2两）5

1188

8.3

1.7

61.90

1.6

包子6

477

3.7

5.0

14.3

0.35

面包7

920

9.9

1.3

41.6

0.8

煎饼（2两一个）8

1380

7.6

0.7

83.6

0.7

馒头9

974

7.8

1.0

49.8

0.3

花卷10

794

5.8

0.9

39.6

0.3

油条11

1129

4.8

12.3

35.7

0.5

白粥12（2两）

280

1.7

0.5

14.74

0.6

黑米粥13（2两）

343

2.99

0.73

17.49

0.6

二、假设条件

假设每个同学的营养需求均正常，且交大食堂提供的各类食品每份营养含量不变。

三、符号说明

设各类食品每份所含营养为已知的A[i,j],各类食品分数为未知变量Xi,一份食谱所提供的各种营养素的总量为Yj,各种营养素的参考摄入量为YJ，各类食物的价格为Ci,一份食谱总价为S，1<=i<=13,1<=j<=4,i,j,Xi均为整数。

四、问题分析

在食谱的优化选择中，肯定一份食谱必须满足总的营养量摄入需求，即Yj必须大于或等于参考摄入量的值，然后再寻求总价S最小化，即最经济实惠，最后要考虑同学们食谱多样化及换口味的问题，即找出许多次优化解。

五、模型建立

根据假设即问题分析，我们知道我们的优化目标：

约束条件为：Yj=>=YJ

决策变量为：Xi

A[i,j]=301 6.8 4.4 1.4

451 5.9 8.4 1.25

226 3.0 3.2 3.4

58 1.8 0.7 1.1

1188 8.3 1.7 61.90

477 3.7 5.0 14.3

920 9.9 1.3 41.6

1380 7.6 0.7 83.6

974 7.8 1.0 49.8

794 5.8 0.9 39.6

1129 4.8 12.3 35.7

280 1.7 0.5 14.74

343 2.99 0.73 17.49

Ci=0.5 0.7 0.6 0.6 1.6 0.35 0.8 0.7 0.3 0.3 0.5 0.6 0.6

YJ1=2950 25 15.8 138.1

YJ2=2620 21.5 12.6 110.2

六、模型求解

(一)先求男生最优食谱

lindo程序如下：

min 0.5x1+0.7x2+0.6x3+0.6x4+1.6x5+0.35x6+0.8x7+0.7x8+0.3x9+0.3x10+0.5x11+0.6x12+0.6x13

subject to

301x1+451x2+226x3+58x4+1188x5+477x6+920x7+1380x8+974x9+794x10+1129x11+280x12+343x13>2950

6.8x1+5.9x2+3.0x3+1.8x4+8.3x5+3.7x6+9.9x7+7.6x8+7.8x9+5.8x10+4.8x11+1.7x12+2.99x13>25

4.4x1+8.4x2+3.2x3+0.7x4+1.7x5+5.0x6+1.3x7+0.7x8+1.0x9+0.9x10+12.3x11+0.5x12+0.7x13>15.8

1.4x1+1.25x2+3.4x3+1.1x4+61.9x5+14.3x6+41.6x7+83.6x8+49.8x9+39.6x10+35.7x11+14.7x12+17.5x13>138.1

end

gin 13

结果如下：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1.600000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.500000

X2 0.000000 0.700000

X3 0.000000 0.600000

X4 0.000000 0.600000

X5 0.000000 1.600000

X6 0.000000 0.350000

X7 0.000000 0.800000

X8 0.000000 0.700000

X9 2.000000 0.300000

X10 0.000000 0.300000

X11 2.000000 0.500000

X12 0.000000 0.600000

X13 0.000000 0.600000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 1256.000000 0.000000

3) 0.200001 0.000000

4) 10.800000 0.000000

5) 32.900002 0.000000

根据这个结果我们看到：早餐吃两根油条和两个馒头既能满足营养需求经济实惠，只要1.6元，但是根据slack or surplus可知能量太多，所以我们可以将能量做个上限，约定为3200kj

结果如下：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3.100000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 1.000000 0.500000

X2 0.000000 0.700000

X3 0.000000 0.600000

X4 0.000000 0.600000

X5 0.000000 1.600000

X6 2.000000 0.350000

X7 0.000000 0.800000

X8 1.000000 0.700000

X9 0.000000 0.300000

X10 0.000000 0.300000

X11 0.000000 0.500000

X12 2.000000 0.600000

X13 0.000000 0.600000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 245.000000 0.000000

3) 5.000000 0.000000

4) 0.200000 0.000000

5) 0.300000 0.000000

6) 4.899999 0.000000

根据结果我们可以看到花的钱为3.1元，食谱为1个煮鸡蛋，两个包子，一个煎饼，两份白粥。

（二）再求女生食谱：

程序如下：

min 0.5x1+0.7x2+0.6x3+0.6x4+1.6x5+0.35x6+0.8x7+0.7x8+0.3x9+0.3x10+0.5x11+0.6x12+0.6x13

subject to

301x1+451x2+226x3+58x4+1188x5+477x6+920x7+1380x8+974x9+794x10+1129x11+280x12+343x13>2690

6.8x1+5.9x2+3.0x3+1.8x4+8.3x5+3.7x6+9.9x7+7.6x8+7.8x9+5.8x10+4.8x11+1.7x12+2.99x13>21.5

4.4x1+8.4x2+3.2x3+0.7x4+1.7x5+5.0x6+1.3x7+0.7x8+1.0x9+0.9x10+12.3x11+0.5x12+0.7x13>12.6

1.4x1+1.25x2+3.4x3+1.1x4+61.9x5+14.3x6+41.6x7+83.6x8+49.8x9+39.6x10+35.7x11+14.7x12+17.5x13>110.2

end

gin 13

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1.400000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.500000

X2 0.000000 0.700000

X3 0.000000 0.600000

X4 0.000000 0.600000

X5 0.000000 1.600000

X6 0.000000 0.350000

X7 0.000000 0.800000

X8 0.000000 0.700000

X9 3.000000 0.300000

X10 0.000000 0.300000

X11 1.000000 0.500000

X12 0.000000 0.600000

X13 0.000000 0.600000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 1361.000000 0.000000

3) 6.700001 0.000000

4) 2.700000 0.000000

5) 74.900002 0.000000

结果为：

仅花1.4元的食谱：三个馒头，一根油条，但能量超了1361KJ，这对女生来说是可怕的，所以我们也给能量定个上限为2800KJ.

结果如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1.900000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.500000

X2 0.000000 0.700000

X3 1.000000 0.600000

X4 0.000000 0.600000

X5 0.000000 1.600000

X6 2.000000 0.350000

X7 0.000000 0.800000

X8 0.000000 0.700000

X9 0.000000 0.300000

X10 2.000000 0.300000

X11 0.000000 0.500000

X12 0.000000 0.600000

X13 0.000000 0.600000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 78.000000 0.000000

3) 32.000000 0.000000

4) 0.500000 0.000000

5) 2.400000 0.000000

6) 0.999997 0.000000

结果显示：花1.9元的食谱：1杯牛奶，2个包子，2个花卷，能量只超了78KJ，完全满足女生的营养需求。

七、模型检验及评价

通过男女生食谱优化求解，我们看到便宜的食谱，能量大大超标，这和我们的平时经验相吻合，通过限定能量，我们看到男女生改良食谱价格都要比原来贵，所以说，多运动，多消耗能量，可以既省钱又锻炼身体。这个模型我们可以对任何营养摄入量进行限制从而得到科学经济的食谱，我觉得值得参考，但是由于多个营养摄入量的限制，从而导致最终的结果可能更昂贵，所以就要我们在某一些方面取舍，这是模型的失败之处，金钱与健康永远无法取最优解，因为每个人的价值观不同嘛！

八、参考文献

中国营养协会公众网之《中国居民营养摄入参考量》

薄荷网之食物库《食品营养含量》

《Lindo使用手册》