一个重要的母函数定理的证明
来源:互联网 发布:mysql删除约束unique 编辑:程序博客网 时间:2024/06/11 06:24
一个重要的母函数定理的证明
1/(1-x)^n=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)*x+C(n+1,n-1)*x^2+...+C(n+j-1,n-1)*x^j..
用数学归纳法证明:
设有上面等式成立:
方程两边分别乘以1/(1-x)有:
因为1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...
1/(1-x)^(n+1)={ C(n-1,n-1)+C(n,n-1)*x+C(n+1,n-1)*x^2+...+C(n+j-1,n-1)*x^j.. }
*{ 1+x+x^2+x^3+... }
Go
1/(1-x)^(n+1)=C(n-1,n-1)+{ C(n-1,n-1) + C(n,n-1) }*x+{ C(n-1,n-1) + C(n,n-1) + C(n+1,n-1)}*x^2+...+{ C(n-1,n-1) + C(n,n-1) + C(n+1,n-1) +...+ C(n+j-1,n-1)}*x^j..
目前我们针对x^j的系数推导:
C(n-1,n-1) + C(n,n-1) + C(n+1,n-1) +...+ C(n+j-1,n-1)
=C(n-1,n-1) + { C(n+1 , n) -C(n,n) } + { C(n+2,n)-C(n+1,n) } +...+ { C(n+j , n) - C(n+j-1 ,n)}
=C(n+j,n)
所以得到证明;
注意这里关于为什么得出这个公式,这个和newton的定理一样是不得而知的。但可以证明;
同样也可以做这样的推导:
1/(1-x)*1/(1-x)...*1/(1-x)
=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x+x^2+x^3+...)*...*(1+x+x^2+x^3+...) (一共有n个)
特别的当每项x的幂最高只能为1时就退化为newton的二项式定理了,这很神奇。
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