母函数

 

新版食物（shiwu）

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！

我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。

他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等

当然，他又有一些稀奇古怪的限制：

每种食物的限制如下：

      承德汉堡：偶数个

      可乐：0个或1个

            鸡腿：0个，1个或2个

            蜜桃多：奇数个

            鸡块：4的倍数个

            包子：0个，1个，2个或3个

      土豆片炒肉：不超过一个。

            面包：3的倍数个

 

 

 

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。

 

输入样例1

  1

输出样例1

  1

 

输入样例2

  5

输出样例2

  35

 数据范围

   对于40%的数据，1<=N<=100000;

   对于所有数据，1<=n<=10^500;

 

 

 

 

N<=10^500!!!!

显然算法复杂度不能和n有关.......

 

母函数，又称生成函数：http://baike.baidu.com/view/2177279.htm

对于这道题而言，没必要掌握太多的母函数知识。

 

首先这样定义。

对于g（x），它的母函数为f（x）=a0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3............

a0，a1，a2..........分别为g（x）取0,1,2.....时的值（不严谨但是好懂的定义）

 

我们定义该题的函数：

汉堡：f=（1,0,1,0,1,0......）

         母函数为：h（x）=1+x^2+X^4+..........（当x为偶数时，有1种取法，否则没有取法，写成母函数就是这样）

                  =1/(1-X^2) （错位相减就可以了）

分别写出其他的母函数（咱就不写了）

 

然后由于所有的母函数乘起来，可以得到x/(1-X)^4 （约分很神奇）

这个式子有什么用？

根据卷积原理，它如果化成a0+a1*x^1+a2*x^2...........的形式，那么 x^N这一项前面的系数，就是该题的答案（优美的性质）

 

于是，一个核武器级公式就呼之欲出了：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...

 

虽然分子不是1 ，但是仅仅只是把系数全部右移一格而已!

这样，我们就可以得到答案 C(N+2,3);

 

高精就行了。

 

program lmd;type sz=array[0..3000]of longint;var st:char; mo,a,c,ans:sz; i,j,k,tot:longint;procedure cheng(a,c:sz);var i,j,jin,xyz:longint;begin fillchar(ans,sizeof(ans),0); for i:=1 to a[0] do begin jin:=0; for j:=1 to c[0] do begin xyz:=a[i]*c[j]+ans[i+j-1]+jin; jin:=xyz div 10; ans[i+j-1]:=xyz mod 10; end; if jin>0 then ans[i+c[0]]:=ans[i+c[0]] + jin; end; ans[0]:=a[0]+c[0]-1; while ans[ans[0]+1]<>0 do inc(ans[0]);end;procedure highdata;begin inc(a[1]); k:=1; while a[k]>10 do begin a[k]:=a[k]-10; a[k+1]:=a[k+1]+1; inc(k); end;end;procedure jian(var ans,mo:sz);var i:longint;begin for i:=1 to mo[0] do begin ans[i]:=ans[i]-mo[i]; if ans[i]<0 then begin dec(ans[i+1]) ;inc(ans[i],10); end; end; while ans[ans[0]] =0 do dec(ans[0]);end;procedure lowdata;var i,yu:longint;begin for i:=ans[0] downto 1 do begin yu:=ans[i] mod 6; ans[i-1]:=ans[i-1] + yu*10; ans[i]:=ans[i] div 6; end; while ans[ans[0]] =0 do dec(ans[0]);end;function max(x,y:sz):boolean;var i:integer;begin if x[0]>y[0] then exit(true); if x[0]<y[0] then exit(false); for i:=x[0] downto 1 do if x[i]<y[i] then exit(false) else if x[i]>y[i] then exit(true); exit(true);end;begin assign(input,'s.in'); assign(output,'s.out'); reset(input);rewrite(output); while not seekeof do begin read(st); if (st<'0') or( st>'9') then break; inc(a[0]); if a[0]=255 then a[0]:=a[0]; a[a[0]]:=ord(st)-48; end; for i:=1 to a[0] shr 1 do begin k:=a[i]; a[i]:=a[a[0]-i+1]; a[a[0]-i+1]:=k; end; c:=a; highdata; cheng(a,c); c:=ans; highdata; cheng(a,c); lowdata; for i:=ans[0] downto 6 do begin fillchar(mo,sizeof(mo),0); mo[0]:=i; if i=6 then k:=k; mo[i]:=1;mo[i-4]:=7; while max(ans,mo) do jian(ans,mo); { ans[i-1]:=ans[i-1]+ans[i]*10; ans[i]:=0; } end; tot:=ans[1]+ans[2]*10+ans[3]*100+ans[4]*1000+ ans[5]*10000; tot:=tot mod 10007; write(tot); close(input);close(output);end.