最长不降子序列问题

一、问题

输入

设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)

若存在i1<i2<i3< … < ie 且有a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。

输出

程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降序列。

例子

数列3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。

3，18，23，24就是一个长度为4的不下降序列，同时也有3，7，10，12，16，24长度为6的不下降序列。

 

二、解法一：动态规划之O（n²）的解法

1、状态转移方程

设A[i]表示序列中的第i个数，

F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，

初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))

则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])

2、代码

#include <iostream>using namespace std;int main(void){ int i,j,n,a[100],b[100],max; while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; b[0]=1;//初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1 for(i=1;i<n;i++) { b[i]=1;//b[i]最小值为1 for(j=0;j<i;j++) if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i]) b[i]=b[j]+1; } for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0;}   

 

三、解法二：动态规划之O（n logn）的解法

更多：http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/08/09/122868.aspx

1、状态转移方程

　　现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足

　　　(1)x < y < i (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]

　　此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

　　很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

　　再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

　　在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

　　这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

 

2、代码

 ＃i nclude<stdio.h>#define N 40005int a[N];int d[N];int len;void search(int m){ int low,high,mid,j; low=1;high=len; j=0; while(low<=high) { mid=(low+high)/2; if(d[mid]>a[m]) high=mid-1; else { j=mid; low=mid+1; } } d[j+1]=a[m];}int main(){ int i,T,r,n; scanf("%d",&T); for(r=0;r<T;r++) { scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); len=1; d[1]=a[1]; for(i=2;i<=n;i++) { if(a[i]>d[len]){len++;d[len]=a[i];} else search(i); } printf("%d/n",len); } return 1;}