【USACO Contest】Holiday 2010 Bonus Competition, Problem 3: Driving Out the Piggies (dotp)

题目大意：

一个无向图，节点1有一个炸弹，在每个单位时间内，有可能在这个节点炸掉，也有p/q的概率随机选择一条出去的路到其他的节点上。问最终炸弹在每个节点上爆炸的概率。

 

分析：

一看就知道是跟矩阵有关系的。

一些基本常识：

图的邻接矩阵（i与j之间有路为1，无路为0）自己与自己相乘N次的结果中[i,j]的值就是到达[i,j]的长度为N的不同路径的种类数。

于是可以想到：

构造矩阵M，使得M[i,j]为炸弹上一个时间在j点、下一个时间走到i的概率，则M自己与自己相乘N次的结果M'的[i,j]就是最初在i点，N时间过后走到j点的概率。

则M'的第一列就是从节点1出发到其他各个节点的概率。设为列向量A。则A=M'*B，其中B=(1,0,0,0,...)^T

在时间N过后，炸弹在每个节点爆炸的概率设为列向量P_N。

时间0：P₀ = p/q * B

时间1：P₁ = p/q * M * B

时间N：P_N = p/q * M^N * B

我们要求的结果就是 Ans=P₀+P₁+P₂+P₃+......

根据无穷递缩等比数列求和公式，Ans=p/q * (I-M)^-1 *B

 

即(I-M) * Ans = p/q * B。

 

这是一个线性方程组，用高斯消元的方法可解。

 

C++源程序：

#include <cmath>#include <fstream>#include <iostream>#include <iomanip>#include <algorithm>using namespace std;int ad[300]; //每个节点的相邻节点数double m[300][300],a[300],b[300];//m是系数方程，a是未知数，b是一次项int main(){ ifstream fin ("dotp.in"); ofstream fout ("dotp.out"); int n,i,j,k,x,y; double p,q,go,max; fin>>n>>k>>p>>q; b[0]=p/q; go=1-b[0]; for(i=0;i<k;i++) { fin>>x>>y; x--; y--; ad[x]++; ad[y]++; m[x][y]=m[y][x]=1; } for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) if(m[i][j]) m[i][j]=-go/ad[j]; m[i][i]=1; } /***************solving begins***************/ for(i=0;i<n;i++) { //找最大元 for(j=i,max=0,x=i;j<n;j++) if(fabs(m[j][i])>max) { max=fabs(m[j][i]); x=j; } //与最大元交换 for(j=i;j<n;j++)swap(m[i][j],m[x][j]); swap(b[i],b[x]); //消元 if(m[i][i]==0) break; for(j=i+1;j<n;j++) { double t=m[j][i]/m[i][i]; for(k=i+1;k<n;k++) m[j][k]-=t*m[i][k]; b[j]-=t*b[i]; //m[j][i]=0; } } //回代求解 for(i=n-1;i>=0;i--) if(m[i][i]) { a[i]=b[i]/m[i][i]; for(j=0;j<i;j++) { b[j]-=m[j][i]/m[i][i]*b[i]; //m[j][i]=0; } } /***************solving ends***************/ for(i=0;i<n;i++)fout<<setprecision(9)<<setiosflags(ios::fixed)<<a[i]<<endl; return 0;}