pku1286置换群和POLYA定理

题目大意，用三种颜色的珠子组成总共有n个珠子的项链，问总共有多少种不同组法。2种项链旋转，翻转后能变为同一种的，看做是相同的

很裸的题。浅谈一下找循环群的方法。

1.旋转 不妨设只能顺时针旋转。那么有不转，转1颗珠子……转n-1颗珠子，假设转i颗珠子，那么有       gcd（n，i）个循环，每个循环的长度都是n/gcd（n，i），这个结论经常用得到；

2.翻转 这个要分奇偶，

   奇数 只能对称轴穿过某颗珠子，循环个数为(n+1)/2，共有n个这样的循环群

   偶数 对称轴过两个对称珠子，循环个数（n+2）/2，共有n/2个这样的循环群

           对称轴过两个相邻珠子的，循环个数n/2，共有n/2个这样的循环群

3.如果看了上面的还不懂建议画图看看

 

 

4.这是老师给我们的讲义上剪切下来的 大概和上面的讲的差不多

1．POLYA定理

设G是N个对象上的置换群，用M中颜色涂染这N个对象，则不同的染色方案数为：

     L_G =( M^λ(g1)+M^λ(g2)+…+M^λ(gp))/|G|

其中G=（g₁,g₂, …g_p）, λ(g_k)为置换g_k的轮换的个数。

注意：

l       置换中轮换的个数和轮换的长度求解。

l       置换群中元素的介的求法。

l       优化问题等等。

*旋转：N个点顺时针（或逆时针）旋转i个位置的置换，

轮转个数为gcd(N, i)

*翻转：

   1．当N为偶数时：

      对称轴不过顶点：轮转个数为N/2

对称轴过顶点：轮转个数为N/2+1

   2．当N为奇数时，轮转个数为（N+1）/2

#include<iostream>#include<cmath> using namespace std;__int64 gcd(__int64 a,__int64 b){ if(a%b==0) return b; else return gcd(b,a%b);}int main(){ __int64 n,i,j; while(cin>>n,n!=-1) { __int64 ans=0; if(n==0){cout<<ans<<endl;continue;} for(i=1;i<=n;i++) ans+=(__int64)pow(3.0,(int)gcd(n,i)); if(n%2==0) { ans+=(__int64)pow(3.0,(int)n/2)*n/2; ans+=(__int64)pow(3.0,(int)n/2+1)*n/2; } else { ans+=(__int64)pow(3.0,(int)(n+1)/2)*n; } // printf("%I64d/n",ans/(2*n)); cout<<ans/(2*n)<<endl;//最后一个错误计算顺序出错 ans/2*n } return 0;}

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1286