关于树状数组的一个小问题

虽然说树状数组的原理是早就懂了，不过一直也没多想那么神奇的位运算到底是怎么回事，只是照葫芦画瓢。

 

今天研究的时候研究了下位运算的内容，也弄懂了树状数组中的一个小问题

 

首先说说位运算的一些基本操作：

 

c语言的几个基本操作符自然不必多说

 

置位(Set bit)

A |= 1 << bit

清位(Clear bit)
A &= ~(1 << bit)

测位(Test bit)

(A & 1 << bit) != 0
(A >> bit & 1) != 0

 

取最后一个非0位(Extracting every last bit)
A & -A
A & （A^(A-1)）

 

再比如交换两个整数的值

 a^=b;b^=a;a^=b;

 

等等

 

一般来说会了上面几个应该就行了。   

 

接下里的问题就是  树状数组中  求 2^k的问题，  k为A的2进制数右边0的个数  

也就是上面位运算里的  取到最后一个非0位的两种方法。

A & -A
A & （A^(A-1)）       这两种方法都是可行的，就难免让人联想到  （-A）是否和(A^(A-1))等价

事实上是不等价的

 

按普通想法：  比如说A为6   则A的二进制编码为110  （A-1）的二进制编码则为101 

则（A^(A-1)） = 011     该数再与A进行与操作  即（A）&（011） = 010  =2

 

而-A的编码，我们很容易认为是  1000...000（28个0）110  如果是这样的编码的话，则（A&（-A））

的值  应该是A本身了

所以 -A的编码应该就不是上面那个样子了

写个小程序测一下-A的编码：

#include <stdlib.h>#include <iostream>#include <stack>using namespace std;/* * */int main(int argc, char** argv) { int x; cin >> x; stack<int> sta; for (int i = 0; i < 31; ++i) if ((-x)&(1 << i)) sta.push(1); else sta.push(0); while (!sta.empty()) { cout << sta.top(); sta.pop(); } cout << endl; return (EXIT_SUCCESS);}

 

我们输入6  发现输出的序列（即-A的二进制编码）为 1111111111111111111111111111010

 

感觉很不靠谱的编码    ，想到补码的概念，   这样就可以解释了

-6的原码为1000...000（28个0）110   符号位不变，其它位取反加1  后刚好得到这个编码。

而正数的原码和补码相同

 

这就说明了计算机在进行计算时，内存中以补码的形式储存操作数。

 

然后将-6的补码与 6的补码进行&操作

 

     1111111111111111111111111111010

                                                                           &

     0000000000000000000000000000110

                                                                           =

     0000000000000000000000000000010 = 2

 

这样以来  （A&(-A)） 和 (A&(A^(A-1)))的结果就相同了，都是得出2^k（k为A二进制编码右边0的个数）

 

感觉利用了补码（A&(-A)）的方法实在是太巧妙了，Orz