射影几何入门（ 附录）

 

射影几何入门（附录）

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（以下附录均未完成，待续）

共有４个附录： 

　　附录1. 简比和交比

　　附录2. 射影几何公理

　　附录3. Pascal迷魂阵问题

　　附录4. 射影几何中的组合数学

附录1. 简比与交比

简比

         简比（Simple ratio）或称单比，也就是普通的比例，在度量几何种，常要考察两个线段长度、角度或面积大小等的简比。

         设直线上依次有三点ABC，则AB／BC或AB／AC都是简比。因三个字母间共有三个长度AB, BC,CA（不考虑方向），而每两个长度之间都可以定义一个简比，故共有６个简比：

１．AB／BC，２．AB／AC

３．BC／AB，４．BC／AC

５．AC／AB，６．AC／BC

如果AB,BC的长度如下图所示：

 

 

则6个比的（绝对）值分别为：

１．AB／BC=2/1=2.00，２．AB／AC=2/3=1.67

３．BC／AB=1/2=0.50，４．BC／AC=1/3=0.33

５．AC／AB=2/3=1.50，６．AC／BC=3/1=3.00

如果把AB看成从A到B的有向线段，再考察AB, BC, CA的列各个简比，则除了1，3外，其余4个的数值都变为负。

简比是解析射影几何中使用的一个概念。简比不变是仿射变换的性质，也就是说，点列中任意三点的任意一种简比经过仿射变换其值是不变，仿射变换就是平行投影产生的变换。

交比

交比(cross ratio)又称复比、重比、或非调和比(anharmonicratio)。它是定义在直线上A,B,C,D四点间长度的一种复杂比例，例如(AC/BC)/(AD/BD)就是一个交比。对于下面这个具体例子来说，上述交比的值

(AC/BC) / (AD/BD) = (2/-1) / (6/3) =-1

 

 

 

因（AB/BC)和(AD/BD)是简比，所以交比是简比与简比之比。由此我们立刻可知，如果一种变换或对应能使简比保持不变，则交比也不变。

交比与调和比的关系则是：交比概念比调和比概念含义更加广，并以调和比为其特例。交比概念也是古人早就知道的。但它在构筑本书理论中的调和比概念时并不需要。考虑到在其他许多文献中频繁使用，这里有必要提供一些解释。

考察直线上任意四点A,B,C,D，将它们与直线外的任意一点S相连，得到四条连线SA, SB, SC, SD，如图所示。

 

 

 

 

 

由于三角形ASB，CSD，ASD，CSB具有完全相同的高度，所以它们的面积大小之比就是它们的底边的比。另一方面，因三角形的面积等于其底边与高度之乘积的一半，又等于三角形任一夹角的正弦与其两个夹边的乘积，所以我们可得等式1）：

AB∙CD AS∙BSsin(ASB)∙CS∙DSsin(CSD) sin(ASB) ∙sin(CSD)
AD∙CB  AS∙DSsin(ASD)∙CS∙BSsin(CSB)  sin(ASD) ∙sin(CSB)

现另用一条直线横截SA, SB, SC, SD，得到新的四点A’, B’, C’, D’。则三角形A’SB’，C’SD’，A’SD’，C’SB’也具有完全相同的高度，故我们又有等式2）：

A’B’∙C’D’    sin(A’SB’)∙sin(C’SD’)
A’D’∙C’B’    sin(A’SD’) ∙sin(C’SB’)

因夹角A’SB’= ASB，C’SD’= CSD，A’SD’=ASD，C’SB’ =CSB，故等式2）的右边与等式1）的右边完全相同，由此，两个等式的左边也相等，即

A’B’∙C’D’     AB∙CD
A’D’∙C’B’     AD∙CB 

这说明，如果将A,B,C,D四点换成与他透视相关的任意四点A’, B’, C’, D’后，等式1）的左边的比值保持不变。这个比值就叫直线上任意四点的非调和比或交比，用a表示。

A,B,C,D四点的非调和比常简记成(ABCD)。故

a = (ABCD) = (AB.CD) / (AD.CB)

如果我们把A,B,C,D四个字母的顺序改变成其他的顺序，如A,B,D,C或C,D,A,B等，则非调和比（CDAB）的值有时会改变，有时则保持不变。不难证明下列规律：

1） 第1,2个字母与3,4个字母交换，非调和比a不变，即

(ABCD) = (CD AB) = a

2） 交换第1,2个字母，3,4个字母不变，或交换第3,4个字母，1,2个字母不变，非调和比变成倒数，即

(BACD) = 1/(ABCD)=1/a

(ABDC) = 1/(ABCD)=1/a

3） 同时交换第1,2字母和3,4字母，非调和比不变，即

(BADC) = (ABCD)

4） 交换第2,3个字母，第1,4字母不变；或交换第1,4个字母，第2,3个字母不变，则非调和比=1-a，即

(ACBD) = 1-(ABCD) =1-a

(ABDC) = 1-(ABCD) =1-a

四个字母共有4!=24种不同排列方式，因而有24个非调和比，但因以上性质，大量比值是相同的。一共只有6个不同的比值。不难发现具有6个不同比值的非调和比分别为：

1)  (ABCD) = (CDAB) = (DCBA) = (BADC) = a 

2)  (BACD) = (CDBA) = (DCAB) = (ABDC) =1/a

3)  (ACBD) = (BDAC) = (DBCA) = (CADB) = 1-a

4)  (CABD) = (BDCA) = (DBAC) = (ACDB) = 1/(1-a)

5)  (BCAD) = (ADBC) = (DACB) = (CBDA) = 1-1/a

6)  (CBAD) = (ADCB) = (DABC) = (BCDA) = a/(a-1)

其中2）左端是由1）换第1,2个字母得到，3）左端是1）换2,3个字母得到，4）左端是3）换1,2个字母得到，5）左端是2）换2,3个字母得到，6）左端是5）换1,2个字母得到。

 

如果A,B,C,D四点是调和点，(见$37中的图)，且完全四边形KLMN各对边与A,B,C,D的对应关系和$37图中完全一样，即KL和MN通过A，KN和LM通过C，LN通过B，KM通过D，那么，将A,B,C,D以L为中心投影到KM上，我们有(ABCD) = (KOMD)，其中O是KM与LN的交点；再从N出发，将点K,O, M, D投射到直线AB，我们有(KOMD) = (CBAD)。由此我们可得

(ABCD) = (CBAD)

或者代入它们的交比值，有

a = a / (a -1)。

由此可解出a = 0或a = 2。但容易看出a = 0时意味四点中有两点相同。因此，对于四调和点，非调和比的六个值减少成为三个，即2, 1/2和 –1。我们由此可附带地看到，如果在非调和比中任何两个文字互换而不改变它的值，那么这样的四个点就是四调和点。

射影几何许多定理利用交比概念后陈述可简化。例如，

一种基本形的任意四元素的非调和比值，和射影相关与它的任意基本形的对应元素的非调和比的值相等；

连接圆锥曲线任意四点到第五点的四直线的非调和比为一常数；

平面上的一个可变点，如果从平面上四个固定点看它时，是沿具有恒定非谐和比的四射线，则此可变点的轨迹是通过该四点的圆锥曲线。

我们把这些定理的证明全留给读者。

下面有一个作图题：

已知三个点和一个非调和比值，寻找第四点，使四点具有所给的非调和比值。

 

 

 

 

 

[解] 设A，B，D是一直线上三个已知点(参见上图)。通过A另作一条任意直线，并在其上取二点B’和D’，使AB’/AD’与指定的非谐和比值a相等。连BB’和DD’，并设二线交于S，通过S作直线平行于AB’。这条直线将与AB交于所需的第四点C。

这一解法的正确性的证明也留给读者。即由读者去证明：

如果 AB’/AD’ = a，则AB∙CD / AD∙CB = a。

附录2.  射影几何的公理

        下面将要介绍射影几何的公理和公理系统，以及它与其他几何公理的区别问题。在公理基础上来研究数学是近代数学的一个特征，被认为是最严格最彻底的一种研究方法，同时，这也是最有价值的方法，正是由于。。。才有今天的信息科学。

        但为此要牵涉到数理逻辑的一些概念，所以在此前先了解一下这方面的科普知识，包括什么是公理，其中又分逻辑公理和和非逻辑的公理。介绍公理系统的一般概念。

        公理通常认为是不言自明的命题，它们在数学系统中用来作为推导系统中所有其他命题的出发命题。公理分逻辑公理和非逻辑公理两种。逻辑公理用来推导逻辑系统的其他逻辑定理，非逻辑公理用来推导算术、代数、几何等数学系统中的数学定理。

逻辑公理或定理的例子（其中字母X,Y本身也代表命题）：

如果X真，则非X为假；（排中律）

如果X真，且X真则Y真，则Y真；（蕴含律）

非逻辑的公理或真命题的例子（其中x,y代表变量）：

x+y=y+x；(加法交换律)

x+(y∙z) = (x+y)∙(x+z)；（加法分配律）

通过一点只能作一条直线平行于已知直线；（平行公理）

逻辑命题，无论是公理或定理，实际只是一种推理模式，它们在一切场合都为真，是永真命题，是绝对真理。人们普遍承认它们，并在推理过程中自觉或不自觉地在应用，无人怀疑。而非逻辑公理则相反，并不是一切场合都能成为真。如上面的加法分配律对

公理系统就是由一些公理组成的系统。由n条公理A₁ … A_n组成的公理系统，我们用∑(A₁ A₂… A_n)表示。对于任何公理系统，我们都要求它们具有一致性、完备性和独立性。

一致性也叫无矛盾性。又有两种不同的意义。一种是存在解释，能自圆其说，就叫一致的，这种一致性叫含义一致性。另一种是从公理系统的公理出发，经过演绎推理，推不出任何矛盾，即推不出互为否定的两个命题。这种一致性叫内部一致性。矛盾的系统是

例如，设∑(A₁, A₂, A₃)由以下三条公理组成：

A₁ ：A&!B,   A₂：X→A,  A₃：C→Y

其中 ! 代表‘非’, &代表‘与’，→代表‘蕴含’，Ｘ,Ｙ是命题变元,A,B,C代表常命题。则真值组（真, 假, 假）就是一个解释。也就是当Ａ为真命题，Ｂ与Ｃ均为假命题，三条公理都成立，不管命题变元Ｘ,Ｙ是真或假，也不管Ａ为怎样的真命题，Ｂ与Ｃ为怎样的假命题，都成立。读者不妨用一些命题来代入，看它们是否都成立，即是否都是真命题。

完备性也叫完全性。又有两种不同的意义。一种是指，从这些公理出发，能推出系统所有的真命题，就叫完备的，这种完备性叫含义完备性。另一种是从公理系统的公理出发，经过演绎推理，推不出任何矛盾，即推不出互为否定的两个命题。这种一致性叫内部一致性。矛盾的系统是

 

一个不证自明的事帢，而较该说是一个被用来推导以建构一个数学定律的形式逻辑表示式。要公理化一套知识，即要去证明这套知识的主张都可以由一套少许明确的陈述（公理）推导出来。一般都可以有两种以上的方法来公理化一个给定的数学领域。

 

命题逻辑和谓词逻辑

 

一阶和高阶谓词逻辑。

 

 

 

 

 

 

射影几何系统公理

射影几何可以用公理化一阶逻辑理论形式表述，它的全集包括“点”和“线”。因此，有两类元素集合，一个的成员是点另一个的成员是线。有一个原始的二元关系，称为"重合"，它关联点和线，用介词"在...上"表示：点P在线L上。对象A和B“不同”，如果A=B为假。公理包括（Eves 1997: 111）:

• 任何两个不同点位于唯一一条直线上；
• 每条线上至少有三个不同点；
• 给定任意直线，存在不在线上的一点；
• 给定任意两个不同直线，存在一点同时在两条线上（任意两条不同线有公共点）。

任何无限几何可以作为射影几何的特殊情况，这是通过加入所需的元素概念和公理达成的。

1825年，Joseph Gergonne 发现了对偶原理：对任何平面射影几何中的定理，若将其中的“点”、“线”对易，则陈述依然成立。简单地说，其原因是射影几何的公理对“点”、“线”二者是对称的。

 

 

推演射影几何的公理是基于这样的事实：即空间中任意两个平面都交于一条直线，平面上任意两条直线总是交于一点。换句话说，在射影几何中不存在平行直线和平行平面。

射影几何公理系统有Coxeter(2003),Hilbert & Cohn-Vossen (1999),Greenberg (1980)等。以下是Whitehead "The Axioms of Projective Geometry"中提出的射影几何公理系统:

* G1 ：每一条直线至少包含3个点（允许为无穷远点）；

* G2 ：每二个点A和B都位于唯一的一条直线AB上。

* G3 ：如果直线AB和CD相交，则AC和BD也相交。

       (这里假设A, D与B, C是不同的点)

射影几何在几何系统中的地位

因射影几何研究交比不变，而简比可变也可不变，仿射几何则研究简比不变，交比也不变的图形，所以从被研究图形的范围来看，射影几何研究的对象范围比仿射几何广。故考察仿射几何应在考察射影几何的基础上进行。从这个意义上说，射影几何是仿射几何的基础和推广，而仿射几何是射影几何的一个一种特殊情况，是射影几何的一个子几何。如下图所示。

 

 

 

 

 

 

但从考察内容的多少来看，射影几何比仿射几何少，因为它研究交比不变，而简比不管变还是不变，不作考察。换句话说，射影几何不考虑平行性。而仿射几何考虑平行性。

再将射影几何学、仿射几何学与欧氏几何比较，那么欧氏几何研究范围更小，它研究的几何图形不但线段AB与CD的简比AB/CD不变，而且AB与CD长度本身也不变，当AB与CD不平行时，则它们的夹角也不变。而仿射几何考察的图形要求没有那么多，所以欧氏几何又是仿射几何的子几何，如上图所示。自然从研究内容的多少来看，欧氏几何考察线段长短，角度大小等图形的度量性质，而仿射几何与射影几何学都不考察线段长短、角度大小等度量性质，即考察的内容少。

 

 

附录3  射影几何中的组合数学问题