大灰狼和小白兔

 链接地址

http://acm.nbu.edu.cn:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1371

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题目内容

Description

在一个遥远的地方，有一座不知名的高山，周围有 n 个兔子的窝，分别标记为 0 至 n-1 。小白兔隐藏在其中，大灰狼从 0 号窝开始按着逆时针的方向寻找，每隔 m 个洞查找一次。 例如： n = 6, m = 2, 则大灰狼寻找窝的序号依次为 0，2，4，0,...。如果小白兔藏在1，3，或5号窝中，那么小白兔则会很安全。

Input

输入以一个正整数P开始，表示有P组测试数据，接着有P行，每行有两个正整数 m 和 n (0 < m,n < 2147483648)。

Output

对于输入的每组 m 和 n, 如果有安全的窝存在，输出 "YES" ,否则输出 "NO"。

Sample Input

2

1 2

2 2

Sample Output

NO

YES

Source

 

 解题思路（算法）

根据题目得这个题目就是让我们求(km mod n)=i这个方程对与i从0到n-1是否都有整数解k；如果都有那么小白兔就找不到安全的窝，输出NO，否则的话输出YES；

将方程变形成km+tn=i;

如果m，n互质，那么对于km+tn=i;若i保持不变

  那么方程必然可以表示成(k0+un)m+(t0+vm)n=i;

      说明大灰狼必须经过u*n次查找才会找到相同的一个洞，所以u取最小为1，那么在这n次查找中查找的窝必然都是不相同的，而i的取值只能从0到n-1这n个数，所以大灰狼找遍了所有的洞，小白兔找不到安全的窝，输出NO；

如果m,n不互质，即存在大于1的最大公约数d=gcd（m，n）；

  那么将m，n都除以d，变为mm=m/d,nn=n/d;

此时mm，nn互质，由上得

     对于k*mm+t*nn=i;i能取到0到nn-1的所有值；

     即 k*m/d+t*n/d=i;(i=0…n/d-1);  1)

将1）式两边都乘以d得：

      k*m+t*n=i*d;(i=0…n/d-1)

即k*m+t*n=ii;(ii=0,d,2*d,3*d…n-d);

所以大灰狼只检查了0，2*d，3*d..n-d这几个窝，其他的窝是安全的；所以存在安全的窝

输出YES；

程序代码

#include<iostream.h>

int gcd(int x,int y)

{

  if(y==0) return x;

  else return gcd(y,x%y);

}

int main()

{

  int n,m,p,i;

   while(cin>>p)

   {

        for(i=1;i<=p;i++)

        {

       cin>>n>>m;

          if (n>m)

          {

                if  (gcd(n,m)>1) cout<<"YES"<<endl;

                   else cout<<"NO"<<endl;

          }

          else

          {

              if (gcd(m,n)>1)

                     cout<<"YES"<<endl;

              else cout<<"NO"<<endl;

          }

        }

   }

   return 0;

}