两个数学家的问题，“你不知道我不知道你知道我知道”

已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。
甲问乙：“你知道是那两个数么？”乙说：不知道。
乙问甲：“你知道是那两个数么？”甲说：也不知道。
于是乙说：那我知道了
随后甲说：那我也知道了。
这两个数是什么？

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允许两数重复的情况下，答案为 x=1，y=4。

甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4

不允许两数重复的情况下有两种答案

答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6

答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8

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设这两个数为x，y.
甲知道两数之和 A=x+y；
乙知道两数之积 B=x*y；

该题分两种情况 ：
允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；

 

1)由题设条件：乙不知道答案 <=> B=x*y 解不唯一 => B=x*y 为非质数
   又∵ x ≠ y
　　∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
　结论(推论1)：B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)
　即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
　证明过程略。

 

2)由题设条件：甲不知道答案 <=> A=x+y 解不唯一 => A >= 5；
　分两种情况：
　A = 5, A = 6 时 x, y 有双解
　A >= 7 时 x, y 有三重及三重以上解
　假设 A=x+y=5
　则有双解
　x1=1，y1=4；
　x2=2，y2=3
　代入公式B=x*y：
　B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
　B2=x2*y2=2*3=6；
　得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
　与题设条件："甲不知道答案"相矛盾 ，
　故假设不成立，A=x+y≠5
　假设 A=x+y=6
　则有双解：
　x1=1，y1=5；
　x2=2，y2=4
　代入公式B=x*y：
　B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
　B2=x2*y2=2*4=8；
　得到唯一解x=2，y=4
　即甲知道答案
　与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
　故假设不成立，A=x+y≠6
　当A>=7时
　∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
　B1=x1*y1=2*(A-2)
　B2=x2*y2=3*(A-3)
　∴ 符合条件
　结论(推论2)：A >= 7

 

3)由题设条件：乙说“那我知道了”=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
　即：
　A=x+y， A >= 7
　B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
　1 <= x < y <= 30
　x, y存在唯一解
　当 B=6 时：有两组解
　x1=1，y1=6
　x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
　得到唯一解 x=1，y=6
　当 B=8 时：有两组解
　x1=1，y1=8
　x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
　得到唯一解 x=1，y=8
　当 B>8 时：容易证明均为多重解
　结论：
　当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8

 

4)由题设条件：甲说“那我也知道了” =>　甲通过已知条件 A=x+y 及推论(3)可以得出唯一解
　综上所述，原题所求有两组解：
　x1=1，y1=6
　x2=1，y2=8
　当x <=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
　同理可得唯一解 x=1，y=4