分布单值概述

1.期望：连续随机变量的加权平均值。如果下列积分有定义的话，即：

\int|x|dF(x) < \infty

定义X的期望（均值，一阶矩）为：

E(X) = \mu = \int{xdF(x)} = \int{xp(x)dx}

对于离散随机变量为：

\sum_x{xp(x)}

期望的性质：
- 线性运算：
math
E(aX+b) = aE(x) + b

- 加法法则, 设xi是随机变量，a_i是常量：
math
E(\sum_ia_ix_i) = \sum_ia_iE(x_i)

- 乘法法则，设xi是相互独立的随机变量：
math
E(\prod^N_{i=1}X_i) = \prod^N_{i=1}E(X_i)


2.众数(mode):设随机变量X有密度p(x)，且存在x0满足
math
x_0 = {arg max} p(x)

则称x0为X的众数，刻画随机变量出现次数最多的位置

期望，中值和众数都被称为位置参数。
- 当随机变量为高斯分布（即正态分布）时，三者相等
3.中值(median)：分布的中值可是为分布的中间，即在其上下的概率均为0.5：

Median(X):=x^*:P(X>=x*) = 0.5 = P(X<=x*)

4.分为函数(quantile):随机变量X的CDF为F，CDF的反函数为分位函数(quantile function)定义为(inf代表最小值)：

F^-1(\alpha) = inf\{{x:F(x)>=\alpha}\}

其中αϵ[0,1].若F严格递增且连续，则F−1(α)为一个唯一确定的实数x，使得F(x)=α. F−1为增函数

中值/中位数：F−1(0.5)

5.方差(variance)：
当E(Xk)<inf, X的k阶矩定义为E(xk)
若X有均值μ，则其方差（二阶中心矩）为:

\sigma^2 = V(X) = E(X-\mu)^2 = \int(x-\mu)^2dF(x) = E(x^2) + E(\mu^2) - 2E(x)E(\mu) = E(x^2) - \mu^2

标准差(standard deviation)

\sigma = \sqrt{V(X)}

性质：
- V(X)=E(x2)−μ2
- 设a,b为常数， V(aX+b)=a2V(x)
- 如果Xn独立，an为常数，则V{∑Ni=1aiXi}=∑Ni=1a2iV(xi).期望的加法不用互相独立，不独立随机变量考虑协方差

6.IQR（Interquantile Range）四分位矩: 25%到75%分位数之间的区间
- 中值比期望更鲁棒
- 四分位矩比方差更鲁棒